2015-2016学年度第一学期期中考试高三数学文科试题

选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)

1、设集合
，
，若
，则实数
的值为( )

A．
B．
C．
D．

2．条件
条件
，则条件
是条件
的 （ ）

充分不必要条件
必要不充分条件

充要条件
既不充分也不必要条件

3. 圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　)

A．(－∞，4)　　 　　　B．(－∞，0) C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)

4. 函数f?(x)=ex-x-2的零点所在的区间为 ( )

A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)

5. 已知
、
为两条不同的直线，
、
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A．若
,
,且
,则

B．若平面
内有不共线的三点到平面
的距离相等，则

C．若
，则

D．若
，则

6．设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为 ( )

A. 6 B.9 C.12 D.15

7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，S表示△ABC的面积，若
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

8. 已知等差数列
的前n项和为
，
，
，
为等比数列，且
，
，则
的值为 ( )

A. 64 B.128 C.
D.

9. 已知函数①
，②
，则下列结论正确的是 ( )

A. 两个函数的图象均关于点
成中心对称

B. 两个函数的图象均关于直线
对称

C. 两个函数在区间
上都是单调递增函数

D. 可以将函数②的图像向左平移
个单位得到函数①的图像

10. 对于
上可导的任意函数
，若满足
，则必有 （ ）

A．
B.

C.
D.

11.过双曲线
的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是 （ ）

（ A ）
( B )
( C )
( D )

12. 定义区间
，
，
，
的长度均为
，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,
的长度
. 用
表示不超过
的最大整数，记
，其中
.设
，
，当
时,不等式
解集区间的长度为
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题(共4小题，每题5分，把答案填在题中横线上)

13．命题
的命题否定形式为________________

14．已知
满足约束条件
,则目标函数
的最大值是

15.设
且

。

16．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)

①BD∥平面CB1D1；

②AC1⊥平面CB1D1；

③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；

④二面角C—B1D1－C1的正切值是，

⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．

三、解答题(共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分10分）

已知曲线
的参数方程是
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线
的坐标系方程是
，正方形
的顶点都在
上，

且
依逆时针次序排列，点
的极坐标为

（1）求点
的直角坐标；

（2）设
为
上任意一点，求
的取值范围。

18、（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，已知向量
,
，且满足
。⑴、求角
的大小；⑵、若
，试判断
的形状。

19. （本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
已知

（I）设
，证明数列
是等比数列

（II）求数列
的通项公式.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．

(1)求证：AC⊥平面SBD；

(2)若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．

(1)若f(x)在x＝1处取得的极值为2，求a，b的值；

(2)若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知直线
所经过的定点
恰好是椭圆
的一个焦点,且椭圆
上的点到点
的最大距离为8.

(Ⅰ)求椭圆
的标准方程；

(Ⅱ)已知圆
,直线
.试证明当点
在椭圆
上运动时,

直线
与圆
恒相交；并求直线
被圆
所截得的弦长的取值范围.

2015-2016学年度第一学期期中考试高三数学理科试题答案

选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

A

C

D

B

B

C

Ｃ

Ｃ

C

B



二、填空题(共4小题，每题5分，把答案填在题中横线上)

13.

14.

15. 2011

16. ①②④

三、解答题(共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17、（本小题满分10分）

（1）点
的极坐标为

点
的直角坐标为
……5

（2）设
；则

…………10

18、

6 666…………4

………………12

19.（I）证明：由
及
，

由
，．．．① 　则当
时，有
．．．．．②

②－①得

又
，

是首项
，公比为２的等比数列．……6

（II）解：由（I）可得
，

　　　
数列
是首项为
，公差为
的等比数列．

，
…………12

20.解：

(1)证明：∵底面ABCD是菱形，O为中心，

∴AC⊥BD.

又SA＝SC，∴AC⊥SO.而SO∩BD＝O，∴AC⊥面SBD.……4

(2)解：取棱SC中点M，CD中点N，连结MN，

则动点P的轨迹即是线段MN.

证明：连结EM、EN，

∵E是BC的中点，M是SC的中点，

∴EM∥SB.同理，EN∥BD，∴平面EMN∥平面SBD，

∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥平面EMN.

因此，当点P在线段MN上运动时，总有AC⊥EP；

P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥EP.…………12

21.

………………………………4

………………12

22．

解: (Ⅰ)由
,

得
,

则由
,解得F(3,0).

设椭圆
的方程为
,则
,解得

所以椭圆
的方程为
…………4

(Ⅱ)因为点
在椭圆
上运动,所以
, 从而圆心
到直线
的距离
.

所以直线
与圆
恒相交

又直线
被圆
截得的弦长为

由于
,所以
,则
,

即直线
被圆
截得的弦长的取值范围是
………………12

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