黑龙江省实验中学2015--2016学年度上学期高三第四次月考

文科数学试题

试卷分数:150分 考试时间 :120分钟

一、选择题：(本题共12题，每小题5分，满分60分)

1.设全集
集合

, 则
( )

A.
B.
C.
D.

2.设
是虚数单位，复数
，则
=（ ）

A．1 B．
C．
D．2

3. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )

A．7 B．15 C．25 D．35

4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）

5.已知正项等比数列
满足:
,若存在两项
,使得
,则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．不存在

6.若向量
的夹角为
，且
,
,则向量
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.
是半径为1的圆的直径，在
上任取一点
，过点M作垂直于
的弦，则弦长

大于
的概率是( )

A.
B.
C.
D.

8. 设
且
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知三棱锥
中，A、B、C三点在以O为球心的球面上， 若

，三棱锥
的体积为
，则球O的表面积为( )

A.
B.
C.
D.

10.下列说法中正确的个数是（　 ）

命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”;

②命题
:“
”，则
:“

”；

③对于实数
是
成立的充分不必要条件

④如果命题“
”与命题“
或
”都是真命题，那么命题
一定是真命题．

A.1 B.2 C.3 D.4

11.已知抛物线
的焦点为
，准线为
，过点
的直线交抛物线于
两点，过点
作准线
的垂线，垂足为
，当
点的坐标为
时，
为正三角形，则此时
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
的图像上关于
轴对称的点至少有3对，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，满分20分)

13.已知
，
满足
且z的最大值是最小值的4倍，则
的值是 _______.

14. 已知双曲线
的右顶点、左焦点分别为
、
，点
，若
，则双曲线的离心率值为 ．

15.已知数列
满足
，且
，数列
的前
项和
．

16.在
中，
,点
在边
上,
，则
．

三、解答题：（本题共6小题，满分70分）

17. （本小题10分）已知
=|
+ l|+ |
﹣2|，
=|
+ l|﹣|
|+
（
）

（Ⅰ）解不等式
≤5；

（Ⅱ）若不等式
≥
恒成立，求a的取值范围．

18. （本小题12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数；

(Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

(Ⅲ)若规定: 90分（包含90分）以上为优秀，现从分数在80分（包含80分）以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率.

19. （本小题12分）极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴．已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数，
）；射线
，
，
，
与曲线
分别交异于极点
的四点
，
，
，
．

（Ⅰ）若曲线
关于曲线
对称，求
的值，并把曲线
和
化成直角坐标方程；

（II）求
的值．

20.（本小题12分）如图，已知长方形
中，
，
，
为
的中点．将
沿
折起，使得平面
平面
．

（Ⅰ）求证：
；

（II）若点
是线段
上的一动点，问点
在何位置时，三棱锥
的体积与四棱锥
的体积之比为
?

第20题图

21. （本小题12分）已知椭圆
过点
，且离心率
.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（II）设点
是椭圆
的左顶点，
为椭圆
上异于点
的两动点，若直线
的斜率之积为
，问直线
是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由.

22.已知函数
其中

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
，证明对任意
，
恒成立.

1-5???DBBAA? ??6-10??ACACB???11-12??AA

13
14.
15
16

?17.解：(Ⅰ) [﹣2，3]．

（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立．

而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，

∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．

18.(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08

由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为＝25

(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4

频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016

(3)

19. (1)
：
，∵曲线
关于曲线
对称，∴圆心
在
上，即
整理得
，即
．∴
：
．

（2）
，
，
，

，

∴

．

20.

21.解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率



∴椭圆方程为

又点
在椭圆上

∴椭圆的方程为

（II）在（I）的条件下，当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，

由
，消去
得：
，

设
，则
.又
，由题知
，

则
，

则

=

=
.

则
.∴
.当
时，直线
的方程为
，

此时直线
过点
，显然不适合题意.

当
时，直线
的方程为
，此时直线
过点
.

当直线
的斜率不存在时，若直线
过点
，
点的坐标分别是
,
，满足
，综上，直线
恒过点
.

22.

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