第四节 单摆

教学设计方案（一）

单摆

本节教材分析

　　摆动是常见的一种机械振动，单摆就是研究这类运动的一个物理模型，也就是说研究单摆的运动将为我们研究复杂摆动打下基础，同时现实生活中的许多摆动可以被近似地看成单摆运动，研究单摆运动规律将直接有助于我们解决这类实际问题，所以，本节知识属于高中物理中的重点知识.

　　本节教材在简谐运动的图象后讲授，这样可使学生在借助图象对简谐运动有了一定程度的了解后，再将受力和运动情况较为复杂的单摆作为简谐运动的一个特例来研究，这样安排可能会更有利于学生学习.

　　本节内容包括单摆的组成，单摆回复力的形成，单摆的周期及单摆的等时性等知识点.

教学目标

一、知识目标

　　1.知道什么是单摆；

　　2.理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动；

　　3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算；

　　4.知道用单摆可测定重力加速度.

二、能力目标

　　1.通过单摆的教学，知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型.

　　2.通过单摆做简谐运动条件的教学，体会用近似处理方法来解决物理问题.

　　3.通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题.

　　4.培养学生的观察实验能力、思维能力.

三、德育目标

　　1.单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的概念.

　　2.当单摆的摆角大小变化时，单摆的振动也将不同，理解量变和质变的变化规律.

教学重点

　　1.了解单摆的构成.

　　2.知道单摆的回复力的形成.

　　3.单摆的周期公式.

教学难点

　　1.单摆做简谐运动的条件——摆角小于或等于５°时的振动.

　　2.单摆振动的回复力是由什么力提供的.

　　3.单摆振动的周期与什么有关.

教学方法

　　1.关于单摆的构成的教学——采用问题教学法.电教法和讲授法进行.

　　2.关于单摆的振动.单摆做简谐振动的条件及单摆回复力的教学——采用分析归纳法、电化教学法、讲授法、推理法进行.

　　3.关于单摆在摆角很小时做简谐运动的证明——采用数学公式推导法、实验验证法进行.

　　4.关于单摆周期的教学——采用猜想、实验验证、分析推理、归纳总结的方法进行.

教学用具

　　投影仪、投影片、纸漏斗、细线、硬纸板、支架、沙子、单摆、秒表、米尺、条形磁铁

教学步骤

用投影片出示本节课的学习目标

　　1.了解单摆的构成；

　　2.知道单摆回复力的成因；

　　3.掌握单摆周期公式，并能简单应用周期公式解决实际问题.

学习目标完成过程

一、导入新课

　　1.复习提问：用投影片出示下列问题：

　　①什么样的运动叫简谐运动?

　　答：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐运动.

　　②简谐运动的位移——时间图象具有什么特点?

　　答：所有简谐运动的位移时间图象都是正弦或余弦曲线.

　　③什么是简谐运动的周期?

　　答：做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间，叫做振动的周期.

2.引入：

　　①讲述故事

　　1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器.

　　②引入新课：本节课我们就来学习这一理想化模型——单摆(板书)

二、新课教学

　　1.什么是单摆

　　(1)学生阅读课文有关内容.

　　(2)学生回答什么是单摆.

　　如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆.

　　(3)激励评价(回答得很好)并提出问题：为什么对单摆有上述限制要求呢?

　　(4)讲解：

　　①线的伸缩和质量可以忽略——使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上.

　　②线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，只有质量无大小，悬线的长度就是摆长.

　　(5)总结：通过上述学习，我们知道单摆是实际摆的理想化的物理模型.

　　2.单摆的摆动

　　(1)介绍单摆的平衡位置.

　　①出示一个单摆.

　　②分析：当摆球静止在O点时，摆球受到哪些力的作用?这些力有什么关系?

　　③抽学生回答：摆球受到重力G和悬线的拉力作用，这二个力是平衡的.

　　④教师强调总结：当摆球静止于O点时，摆球受到的重力G和悬线的拉力Ｆ′彼此平衡，O点就是单摆的平衡位置.

　　(2)单摆的摆动

　　①演示：用力将摆球拉离平衡位置，使摆线与竖直方向成一角度，然后释放，并用CAI课件模拟.

　　②提问：同学们认为摆球做什么运动? 

　　③学生可能答：以悬挂点为圆心在竖直平面内做圆弧运动.

　　学生还可能答：摆球以平衡位置O为中心振动.

　　④教师总结，摆球沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动.

　　⑤问：是什么原因导致摆球以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动呢?

　　用CAI课件模拟摆球所做的运动.

　　分析：(如图甲)

　　摆球被拉到位置ａ时，摆球受到重力ｍｇ，绳的拉力Ｆ′，且ｍｇ与拉力Ｆ′不再平衡，所以摆球在这两个力的共同作用下，将沿以O为中点的一段圆弧做往复运动.

　　3.关于单摆的回复力

　　①老师说明：在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图乙所示.

　　②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G分解到速度ｖ的方向及垂直于ｖ的方向.且Ｇ₁＝Ｇsinθ＝mgsinθＧ₂＝Gcosθ＝mgcosθ

　　③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ₁＝mgsinθ提供了摆球摆动的回复力.

 　　(4)关于单摆做简谐运动的条件

　　 （ｘ表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长）

　　②师生分析得到：在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反，大小成正比，单摆做简谐运动.

　　④教师讲：我们知道简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线.

　　⑤做课本图9～１９的演示实验，并用实物投影仪投影——漏斗的漏砂落到匀速拉动的硬纸板上形成的图象是简谐运动的图象.

　　⑥总结：从理论上和实际得到的图象中均可看出：在摆角很小的情况下，单摆做简谐运动.

　　3.单摆振动的周期

　　(1)提出问题：决定单摆振动的周期的因素有哪些?

　　(2)学生进行猜想

　　单摆振动的周期可能与振幅、摆球质量、摆长、重力加速度及空气阻力有关.

　　(3)教师说明：在摆角很小时，空气阻力较小，可以忽略.

　　(4)学生分组做对比实验

　　①对比实验

　　甲组：当摆长为１ｍ时，使振幅Ａ₁＝8 ｃｍ，测出单摆的周期T₁.

　　乙组：当摆长为１ｍ时，使振幅Ａ₂＝５ｃｍ，测出单摆的周期Ｔ₂.

　　②对比实验

　　甲组：当摆长为１ｍ时，使摆球质量为ｍ，测出单摆的周期Ｔ₂.

　　乙组，当摆长为１ｍ时，用橡皮泥均匀地粘在摆球周围，测出单摆的周期Ｔ₂′.

　　③对比实验

　　甲组：当摆长为１ｍ时，使用一定的质量的摆球，测出单摆的周期Ｔ₃.

　　乙组：当摆长为0.64ｍ时，使用和甲组质量相同的摆球，测出单摆的周期Ｔ₃′.

　　④对比实验

　　甲组：单摆的摆球用铁球(质量为ｍ)；测出单摆的周期Ｔ₄.

　　乙组：在甲组单摆摆球的平衡位置下方放一块磁铁(相当于重力加速度增大)测出单摆的周期Ｔ₄′.

　　⑤各组对实验结果分析比较后，总结得到：单摆摆动的周期与单摆的振幅无关，与单摆的摆长、重力加速度有关.

　　⑥教师讲：

　　荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的摆动，定量得到：单摆的周期Ｔ＝２π ，即单摆振动时具有如下规律：

　　ａ.单摆的振动周期与振幅的大小无关——单摆的等时性.

　　ｂ.单摆的振动周期与摆球的质量无关.

　　ｃ.单摆的振动周期与摆长的平方根成正比.

　　ｄ.单摆的振动周期与重力加速度的平方根成反比.

三、巩固练习

　　1.单摆由________和成______组成，保证单摆做简谐运动的关键控制因素是_____.

　　2.秒摆的周期是______(ｇ＝9.8 ｍ／ｓ²)时，秒摆的摆长大约是_______米.(取两位有效数字)

　　3.一个做简谐运动的单摆，如果将它的摆角变小，下列说法正确的是

　　A.振动时的总能量不变    B.振幅不变

　　C.振动周期不变          D.振子到达平衡位置时的速率不变

　　4.关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是

　　A.就是振子所受的合外力

　　B.振子所受合外力在振子运动方向的分力

　　C.振子的重力在运动方向的分力

　　D.振子经过平衡位置时回复力为零

参考答案：

　　1.摆线；摆球；摆角不超过10°  2.2秒，０.９９  ３.Ｃ  ４.ＢＣＤ

四、小结

　　通过本节课学习，我们知道：

　　1.单摆是一种理想化的振动模型，单摆振动的回复力是由摆球重力沿圆弧切线方向的分力mgsinθ提供的.

　　2.在摆角小于10°时，回复力Ｆ＝－ ｘ.单摆的振动可看成简谐运动.

　　3.单摆的振动周期跟振幅、摆球质量的大小无关，跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，即Ｔ＝２π .

五、作业

　　(一)课本P170练习四

　　(二)思考题

　　1.如右图所示，光滑轨道的半径为２ｍ，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为６ｃｍ与２ｃｍ，ａ、ｂ两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是_______.

　　A.C点        B.C点右侧          C.C点左侧        D.不能确定

　　2.用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是______.

　　A.不变                            B.变大

　　C.先变大后变小再回到原值          D.先变小后变大再回到原值

　　3.一单摆的摆长为４０ｃｍ，摆球在ｔ＝０时刻正从平衡位置向右运动，若ｇ取１０　ｍ／ｓ²，则在１ｓ时摆球的运动情况是_______.

　　A.正向左做减速运动，加速度正在增大

　　B.正向左做加速运动，加速度正在减小

　　C.正向右做减速运动，加速度正在增大

　　D.正向右做加速运动，加速度正在减小

　　4.一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是_______.

　　A.ｇ_甲＞ｇ_乙，将摆长适当增长         B.ｇ_甲＞ｇ_乙，将摆长适当缩短

　　C.ｇ_甲＜ｇ_乙，将摆长适当增长         D.ｇ_甲＜ｇ_乙，将摆长适当缩短

　　5.一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，可见电梯在做加速运动，加速度ａ为_______.

　　A.方向向上，大小为ｇ／２           B.方向向上，大小为３ｇ／４

　　C.方向向下，大小为ｇ／４           D.方向向下，大小为3/4ｇ

　　6.将单摆摆球拉到悬点后由静止释放，到摆线伸直的时间为ｔ₁，将摆球拉开使摆线与竖直方向的夹角为３°，从静止放开摆球回到平衡位置的时间为ｔ₂，则ｔ₁∶ｔ₂＝______.

　　7.如图为一双线摆，二摆线长均为ｌ，悬点在同一水平面上，使摆球A在垂直于纸面的方向上振动，当A球从平衡位置通过的同时，小球B在A球的正上方由静止放开，小球A、B刚好正碰，则小球B距小球A的平衡位置的最小距离等于_________.

参考答案：

１.  Ａ  ２.Ｃ  ３.Ｄ  ４.Ｃ  ５.Ｄ  ６.２ ∶π  ７. ｌin

六、板书设计

教学设计方案（二）

单摆

一、教学目标

　　1．在物理知识方面的要求：

　　(1)理解单摆振动的特点及它做简谐运动的条件；

　　(2)掌握单摆振动的周期公式。

　　2．观察演示实验，概括出周期的影响因素，培养学生由实验现象得出物理结论的能力。

　　3．在做演示实验之前，可先提出疑问，引起学生对实验的兴趣，让学生先猜想实验结果，由教师实验验证，使学生能更好的有目的去观察实验。

二、重点、难点分析

　　1．本课重点在于掌握好单摆的周期公式及其成立条件。

　　2．本课难点在于单摆回复力的分析。

　　解决方案：对于重点内容通过课堂巩固练习加深印象。本课难点在于力的分析上，由教师画好受力分析图，用彩粉笔标示，同时引导学生看书，这部分内容属于A类要求及了解内容，只要使大部分学生能明白基本过程即可，重在强调最后结论。

三、教具

　　1．演示单摆振动周期的影响因素

　　三个单摆：两个摆长相同，质量不同；两个摆长不同。

　　2．投影仪，投影片。(内容见附录)

四、主要教学过程

　　(一)引入新课

　　提问：什么是简谐运动？

　　答：物体做机械振动，受到的回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。

　　前节课我们学习了弹簧振子，了解了简谐运动和振动周期。日常生活中，我们常常见到钟表店里摆钟摆锤的振动(教师展示摆钟钟摆的振动)，这种振动有什么特点呢？它是根据什么原理制成的？钟摆类似于物理上的一种理想模型——单摆。我们就来分析一下单摆来解决以上的问题。

　　(二)教学过程设计

　　(教师拿出单摆展示，同时介绍单摆构成)这就是单摆，一根绳子上端固定，下端系着一个球。物理上的单摆，是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内小角度地摆动。所以，实际的单摆要求绳子轻而长，小球要小而重，将摆球拉到某一高度由静止释放，单摆振动类似于钟摆振动。我们这一章研究的是机械振动，而单摆振动也属于机械振动，单摆振动也是在某一平衡位置附近来回振动，这个平衡位置，就是绳子处于竖直的位置。

　　我们在学习机械振动时，曾经提到过机械振动的两个必要条件，一是运动中物体所受阻力要足够小；二是物体离开平衡位置后，总是受到回复力的作用。对于第一个条件单摆是符合的，单摆绳要轻而长，球要小而重都是为了减少阻力；第二个条件说到回复力。

　　提问：单摆的回复力又由谁来提供？

　　答：单摆的回复力由绳的拉力和重力的合力来提供。(教师对答案先不否定，通过对学生的提问，教师把受力图画在黑板上。)

　　1．单摆的回复力

　　要分析单摆回复力，先从单摆受力入手。单摆从A位置释放，沿AOB圆弧在平衡点O附近来回运动，以任一位置C为例，此时摆球受重力G，拉力T作用，由于摆球沿圆弧运动，所以将重力分解成切线方向分力G₁和沿半径方向G₂，悬线拉力T和G₂合力必然沿半径指向圆心，提供了向心力。那么另一重力分力G₁不论是在O左侧还是右侧始终指向平衡位置，而且正是在G₁作用下摆球才能回到平衡位置。(此处可以再复习平衡位置与回复力的关系：平衡位置是回复力为零的位置。)因此G₁就是摆球的回复力。回复力怎么表示？由单摆的回复力的表达式能否看出单摆的振动是简谐运动？书上已给出了具体的推导过程，其中用到了两个近似：(1)sinα≈α；(2)在小角度下AO直线与AO弧线近似相等。这两个近似成立的条件是摆角很小，α＜10°。(见附表，打印在投影片上。)由投影片我们可知α在5°之内，并且以弧度为角度单位，sinα≈α。

　　在分析了推导过程后，给出结论：α＜10°的情况下，单摆的回复力为

　　

　　满足简谐运动的条件，即物体在大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反的回复力作用下的振动，为简谐运动。所以，当α＜10°时，单摆振动是一种简谐运动。

　　2．单摆振动是简谐运动

　　特征：回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。

　　但这个回复力的得到并不是无条件的，一定是在摆角α＜5°时，单摆振动回复力才具有这个特征。这也就是单摆振动是简谐运动的条件。

　　条件：摆角α＜10°。

　　前面我们所学简谐运动是以弹簧振子系统为例，单摆振动和弹簧振子不同，从回复力上说，虽然都具有同一特征，却由不同的力来提供。弹簧振子回复力由合力提供，而单摆则是由重力的一个分力来提供回复力。这是回复力不同，那么其他方面，还有没有不同呢？我们在学习弹簧振子做简谐运动时，还提到过弹簧振子系统周期与振幅无关，那么单摆的周期和振幅有没有关系呢？下面我们做个实验来看一看。

　　3．单摆的周期

　　要研究周期和振幅有没有关系，其他条件就应不变。这里有两个单摆(展示单摆)，摆长相同，摆球质量不同，这会不会影响实验结果呢？也就是单摆的周期和摆球的质量有没有关？那么就先来看一下质量不同，摆长和振幅相同，单摆振动周期是不是相同。

　　[演示1] 将摆长相同，质量不同的摆球拉到同一高度释放。

　　现象：两摆球摆动是同步的，即说明单摆的周期与摆球质量无关，不会受影响。

　　那么就可以用这两个单摆去研究周期和振幅的关系了，在做之前还要明确一点，振幅是不是可任意取？这个实验主要是为研究属于简谐运动的单摆振动的周期，所以摆角不要超过5°。

　　[演示2] 摆角小于10°的情况下，把两个摆球从不同高度释放。

　　现象：摆球同步振动，说明单摆振动的周期和振幅无关。

　　刚才做过的两个演示实验，证实了单摆振动周期和摆球质量、振幅无关，那么周期和什么有关？由前所说这两个摆摆长相等，如果L不等，改变了这个条件会不会影响周期？

　　[演示3] 取摆长不同，两个摆球从某一高度同时释放，注意要α＜10°。

　　现象：两摆振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢。这说明单摆振动和摆长有关。具体有什么关系呢？经过一系列的理论推导和证明得到：

　　

　　同时这个公式的提出，也是在单摆振动是简谐运动的前提下，即满足摆角α＜10°。

　　条件：摆角α＜10°

　　由周期公式我们看到T与两个因素有关，当 一定，T与 成正比；

　　当L一定，T与 成反比；L， 都一定，T就一定了，对应每一个单摆有一个固有周期T，因为 ，也就是有一个固有频率 。而且我们还可以根据这个周期公式测某地的重力加速度，由公式可知只要测出单摆的摆长、周期，就可以得到单摆所在地的重力加速度。

　　提问：由以上演示实验和周期公式，我们可知道周期与哪些因素有关，与哪些因素无关？

　　答：周期与摆长和重力加速度有关，而与振幅和质量无关。

　　单摆周期的这种与振幅无关的性质，叫做等时性。单摆的等时性是由伽利略首先发现的。(此处可以讲一下伽利略发现单摆等时性的小故事。)钟摆的摆动就具有这种性质，摆钟也是根据这个原理制成的，据说这种等时性最早是由伽利略从教堂的灯的摆动发现的。如果条件改变了，比如说(拿出摆钟展示)这个钟走得慢了，那么就要把摆长调整一下，应缩短L，使T减小；如果这个钟在北京走得好好的，带到广州去会怎么样？由于广州g，小于北京的g值，所以T变大，钟也会走慢；同样，把钟带到月球上钟也会变慢。

　　4．课堂练习(见投影片)

　　[题目]甲乙两个单摆，甲的摆长是乙摆长的4倍，乙摆球质量是甲球质量的2倍。在甲振动5次的时间内，乙摆球振动______次。

　　分析：此题考查的是周期的影响因素。已知摆长和质量比例关系，但由周期公式和前面所做演示实验可知，周期与质量无关，甲的摆长是乙的摆长的4倍，那么甲的周期就是乙的周期的2倍，频率是1/2，所以甲振动5次，同时乙振动10次。

　　(三)课堂小结

　　本节课主要讲了单摆振动的规律，只有在小角度时单摆振动才能近似的看作理想的简谐运动；单摆振动周期 ，当g一定，T与 成正比，当l一定T与 成反比。我们还可以依据这个周期公式式测某地的重力加速度，由公式可知只要测出单摆的摆长、周期，就可以得到单摆所在地的重力加速度。