第三节 一元一次不等式和它的解法

一元一次不等式和它的解法（一）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．了解一元一次不等式的定义．

　　2．掌握一元一次不等式的解法．

　　（二）能力训练点

　　1．培训学生运用类比方法处理相关内容的能力．

　　2．培养学生用所学知识解决实际问题的能力．

　　（三）德育渗透点

　　通过类比一元一次方程的解法从而更好地去掌握一元一次不等式的解法，树立学生辩证唯物主义的思想方法．

　　（四）美育渗透点

　　通过本节课的学习，渗透不等式解集的奇异的数学美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：类化法、引导实践法、练习法．

　　2．学生学法：抓住解方程的一般解题步骤，归纳出解不等式的一般步骤．

　　三、重点·难点·疑点及解决方法

　　（一）重点

　　掌握一元一次不等式的解法、步骤并准确地求出解集．

　　（二）难点

　　正确运用不等式的基本性质3，避免变形中出现错误．

　　（三）疑点

　　弄清一元一次不等式与一元一次方程的异同．

　　（四）解决方法

　　观察比较一元一次方程与一元一次不等式解题步骤的区别及注意点，从而更准确地掌握一元一次不等式的解题步骤并重视易出错的环节．

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　直尺、投影仪或电脑、胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过复习一元一次方程的概念及一般解题步骤，为本节课新授一元一次不等式的求解打下良好的坚实基础．

　　2．通过类比的办法引入一元一次不等式的概念及求解方法．教师一边示范一边提问让学生通过观察、类比从而加深对一元一次不等式求解的理解．

　　3．通过反复的练习，让学生掌握常见含字母的不等式的求解办法．从而达到熟能生巧的目的．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　本节课将学习一元一次不等式的求解办法，并能熟练地解之．

　　（二）整体感知

　　让学生通过类比的方法既复习了一元一次方程的求解，又快捷地掌握一元一次不等式的求解，从而能更好地区分一元一次方程和一元一次不等式的求解过程的差异．

　　（三）教学过程

　　1．创设情境，复习引入

　　（1）提问：①什么叫一元一次方程？

　　②它的标准形式是什么？

　　③解一元一次方程的一般步骤是什么？

　　④一元一次方程一定有解吗？有几个解？

　　（2）解下列方程：① ．

　　② ，并在数轴上表示它们的解．

　　（3）指出不等式 的解集，并在数轴上表示出来．

　　学生活动：第（1）题口答，第（2）题、第（3）题在练习本上完成，指定三个学生板演，完成后由学生判断是否正确．

　　教师活动：纠正，强调解方程时的常见错误及“· ”与“。”的使用区别．然后指出，解不等式与解一元一次方程相比，最大的区别就是式子两边乘或除以同一个负数时，“不等号”需改变方向，“等号”不改变．除此之外的对式子进行的任何其他变形都是完全相同的．

　　【教法说明】由于一元一次不等式与一元一次方程在诸多方面都有联系，因此，教学时光复习一元一次方程的有关内容，然后引入一元一次不等式的相应内容，通过仿同求异对比来学习，这样既降低了学习难度，又强化了对新知识的理解．

　　2．探索新知，讲授新课

　　大家知道，不等式 的解集是 ，变形的理论依据是不等式基本性质1，相当于解方程的移项法则，实际上，解不等式就是运用不等式的三条基本性质，对不等式进行适当变形（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1）最终将不等式变形为 或 的形式，即求出不等式的解集．

　　大家知道，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，例如 ．一元二次方程的标准形式是 ．类似地，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式，例如 ．

　　一元一次不等式的标准形式为 或

　　注意问题：判断一个不等式是否为一元一次不等式，应先将它化成最简形式，再用定义判断．形如 的不等式不是一元一次不等式，而是矛盾不等式．

　　解一元一次不等式与解一元一次方程有类似的步骤，但一定要注意当不等式的两边同乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．

　　例1  解不等式 ，并把它们的解集在数轴上表示出来．

　　例2  解不等式 ，并把它们的解集在数轴上表示出来．

　　师生活动：教师板书例1，学生板书例2．（同桌交换练习，指出对方错误井纠正）

　　（1）解方程：

　　解：去括号，得

　　

　　移项，得

　　

　　合并同类项，得

　　

　　化系数为1，得

　　

　　方程的解在数轴上表示如下：

　　例1  解不等式：

　　解：去括号，得

　　

　　移项，得

　　

　　合并同类项，得

　　

　　化系数为1，得

　　

　　不等式的解在数轴上表示如下：

　　（2）解方程：

　　解：去分母，得

　　去括号，得

　　

　　移项，得

　　

　　合并同类项，得

　　

　　化系数为1，得

　　方程的解在数轴上表示如下：

　　例2  解不等式

　　解：去分母，得

　　

　　去括号，得

　　

　　移项，得

　　

　　合并同类项，得

　　

　　化系数为1，得

　　不等式的解在数轴上表示如下：

　　【教法说明】①通过对比一元一次不等式与一元一次方程的解题步骤，一方面加深学生对相同点的认识，另一方面强化学生对不同点的理解、认识和记忆．

　　②教学时，教师要注意强调不等式性质3的应用、方程变形中常见的错误，及实心圆点与空心圆圈的区别．

　　3．尝试反馈，巩固知识

　　解下列不等式：

　　① 　② 　③ 　④

　　⑤ （并在数轴上表示其解集）

　　答案：① 　② 　③ 　④ 　⑤

　　解⑤：去分母，得

　　去括号，得

　　移项，得

　　合并同类项，得

　　系数化为1，得

　　不等式的解集在数轴上表示如下：

　　【教法说明】教学时，①、②小题可作抢答题，③、④小题在练习本上完成，然后与投影出示的正确答案进行对比．⑤小题学生口述，这样既锻炼了学生的运算能力，强化了竞争意识，同时也检验了学生解不等式的能力．

　　4．变式训练，培养能力

　　（1）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．

　　① 　　　②

　　答案：① 　　　②

　　师生活动：首先学习练习，教师巡视，了解做题情况．接着与正确解题过程进行对比，最后教师对练习中的共性错误进行纠正和强调．

　　（2）单项选择题：

　　①下列各式中，是一元一次不等式的是（　）

　　A． 　　B．

　　C． 　　D．

　　②不等式 的解集是（　）

　　A． 　　B． 　　C． 　　D．

　　③在解不等式 的过程中，①去分母得 　②移项得 　③合并得 　④解集为：

　　其中错误的是（　）

　　A．①　　　B．②　　　C．③　　　D．④

　　④下列不等式中，解集不同的是（　）

　　A． 与 　　　B． 与

　　C． 与 　　D． 与

　　答案：D，C，D，D．

　　学生活动：分析思考，讨论完成，指名回答并说出理由．

　　教师活动：纠正错误及强调注意事项．

　　【教法说明】通过同桌（或前后桌）的分析讨论，各抒己见，即激发了学生的学习兴趣又强化了学生思维的灵敏性、科学性、主动性．

　　（四）归纳、扩展

　　1．本节重点：

　　一元一次不等式的概念及其解法．

　　2．注意问题：

　　①不等式性质3的正确使用．

　　②避免不等式变形中常见的错误（去分母时不要漏乘，移项要变号，书写不能连写不等号等）．

　　八、布置作业

　　（一）必做题：P73　A组 1．（1）（2）（4）（5）．

　　（二）选做题：P73～P74　A组2．（2）（4）（6）；B组1．

　　参考答案

　　（一）1．（1） 　（2） 　（4） 　（5）

　　（二）2．（2） 　（4） 　（6）

　　1．

　　九、板书设计

6.3  一元一次不等式和它的解法（一）

　　一、一元一次不等式

　　1．概念：只含有一个未知数且未知数次数为1，系数不为0的不等式叫一元一次不等式．

　　注意：针对最简形式而言．

　　2．标准形式 或    （其中 ）

　　二、解法（与一元一次方程进行对比）

　　1． 　　　例1 

　　解：　　　　　　　　　　　解：

　　2． 　　　　　例2 

　　解：　　　　　　　　　　　　解：

　　三、小结

　　注意：1．不等式性质3．

　　2．变形中常见错误．

　　

一元一次不等式和它的解法（二）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．使学生能根据题意列出不等式．

　　2．会求某些一元一次不等式的特殊解．

　　（二）能力训练点

　　1．培养学生利用所学知识分析、解决实际问题的能力，形成用不等式的意识．

　　2．培养学生科学、灵活、全面地思维能力，强化、完善思维意识．

　　（三）德育渗透点

　　通过引导学生分析问题、解决问题，从而激发学生求知的欲望，培养参与竞争的意识，并学会用辩证的观点来解决问题．

　　（四）美育渗透点

　　通过本节课的学习渗透数学符号的奇异美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：讲授法、尝试指导法．

　　2．学生学法：应重点理解并记忆有关不等式的符号并能结合实际情况求有关正整数解的问题．

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　（一）重点

　　根据已知的基本数量关系，列出不等式．

　　（二）难点

　　有关“不大于”、“不小于”、“非负”、“至少”等语言如何转化为相应的不等式的符号．

　　（三）疑点

　　不等式的解集及不等式的正整数解等的区别．

　　（四）解决办法

　　加强理解并复习有关正整数、负整数、最大整数等概念，在解决问题的过程中应不断提高观察及归纳的能力．

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　投影仪或电脑、胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．复习一元一次不等式和一元一次方程解题步骤的不同，创设情境回顾不等号的各种表达形式．

　　2．利用各种不同形式的不等号来列不等式，教师规范板书，学生进行模仿练习。训练学生的思维能力、书面表达能力．

　　3．利用各种形式的练习，训练不等式的简单应用问题．

　　七、教学步骤

　　（－）明确目标

　　本节课重点是学习根据给出的条件列出不等式，并能正确地解不等式．

　　（二）整体感知

　　根据题目给出的条件转化为不等式时，要注意将“不大于”、“不小于”、“至少”、“至多”、“非负数”、“非正数”，这些语言转化为不等式的符号，并能利用不等式的有关知识进行求解．

　　（三）教学过程

　　1．创设情境，复习引入

　　（1）什么叫一元一次不等式？它的标准形式是什么？

　　（2）解一元一次不等式与解一元一次方程有哪些解题步骤不同？并说明．

　　（3）什么叫正数、负数？有理数按大小分包括几类？

　　（4）下列语言分别用哪些数学符号（或数学式子）表示？

　　“大于”、“大于或等于”（即不小于）、“小于”、“小于或等于”（即大不于），“ 为正数”、“ 为负数”、“ 为非正数”、“ 为非负数”．

　　学生活动：独立思考，说出答案：“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”．

　　【教法说明】设置上述习题，目的是温故知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．

　　2．探索新知，讲授新课

　　我们已掌握了一元一次不等式的解法，下面我们学习根据题意列不等式，以及求某些一元一次不等式的特殊解的方法．

　　例3  取什么值时，代数式 的值

　　（1）大于0　　　　（2）不大于0

　　引导分析：问：“ 取什么值时，代数式 的值大于0”就是问“ 取什么值时，不等式 成立？”为此就要转化为求这个不等式的解集．同样，问“ 取什么值时，代数式 的值不大于0”就是要求不等式 的解集．

　　师生活动：（1）题教师板书；（2）题学生在练习本上完成，并指名板演．

　　解：（1）根据题意，要求不等式 的解集，

　　解这个不等式，得

　　所以当 取大于 的值时， 的值大于0．

　　（2）根据题意，要求不等式 的解集，

　　解这个不等式，得

　　所以当 取不大于 的值时， 的值不大于0．

　　注意问题：根据题意列不等式同根据题意列方程解应用题类似，最后一定要有答数，因此题目最后的答数不能省略．

　　例4  求下列不等式的正整数解．

　　（1） 　　　　（2）

　　学生活动：分析题意并在练习本上完成（1）、（2）小题，同时指名板演，最后判断板演正误，并与课本例题对照．

　　分析：根据条件需先求出各个不等式的解集，再从中找出题目所要的特殊解（如正整数、负整数解等）．

　　解：（1）解不等式 ，得

　　　　

　　因为小于3的正整数有1，2两个，所以不等式 的正整数解是1，2．

　　（2）解不等式 得

　　　　

　　因为不大于3的正整数解有 1，2，3三个，所以不等式 的正整数解是 1，2，3．

　　注意问题：（2）小题中，3也是不等式 的正整数解，不能丢掉．

　　【教法说明】教学时，教师必须花一定时间引导，帮助学生弄清题意，使学生真正理解所学知识，通过学生分析题意、板书例题，训练了他们的思维能力、书面表达能力，同时增强了参与意识，充分发挥了主体作用．

　　3．尝试反馈，巩固知识

　　（1） 取什么值时，代数式 的值

　　 ①小于1？　　　②不小于1？

　　（2）求不等式 的正整数解．

　　学生在练习本上完成（1）、（2）题，教师抽查，与投影出的正确答案进行对比．

　　答案：

　　（1）① 　　② 　　（2）1，2，3，4

　　4．变式训练，培养能力

　　单项选择：

　　（1）满足 的自然数有（　）

　　A．3个　　B．4个　　C．5个　　D．6个

　　（2）不等式 中， 可取的最大整数值是（　）

　　A．0　　B．1　　C．2　　D．3

　　（3）不等式 的负整数解有（　）

　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个

　　（4）不等式 的非负整数解有（　）

　　A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个

　　学生活动：学生独立完成，然后指名回答结果．

　　答案：D、B、A、D．

　　（四）总结、扩展

　　学习本节内容要注意以下两点：

　　1．根据已知条件列不等式时，要认真审题，抓住关键词语将题目所给数量关系转化为相应的不等式．

　　2．要弄清求某些一元一次不等式的解集和特殊解的区别与联系．

　　学生活动：回顾本节重点内容及注意事项．

　　八、布置作业

　　（一）必做题：P73  A组4，6．

　　（二）选做题：

　　1． 为何值时，代数式 的值，（1）是非负数？（2）不大于－2？

　　2． 为何值时，代数式 的值不小于代数式 的值？

　　参考答案

　　（一）4．（1） 　　（2） 　　（3）

　　　　6．1，2，3，4，5，6

　　（二）1．（1） 取不小于 的值时，代数式 的值是非负数；

　　（2） 取不大于 的值时，代数式 的值不大于－2．

　　2．当 取不大于 的值时，代数式 的值不小于 的值。

　　九、板书设计

6.3一元一次不等式和它的解法（二）

　　“大于”“＞”　　　　　　　　例3解：（1）根据题意，要求不

　　“不小于”“≥”　　　　　　　等式 的解集．

　　“小于”“＜”　　　　　　　　解这个不等式得

　　“不大于”“≤”　　　　　　　所以当 取大于 的值时

　　 为正数   　　　　　　 的值大于0

　　负数 　　　　　　　　　　（2）略  （板演）

　　非负数　　 　　　　　　　例4   解出（1）

　　非正数　　 　　　　　　　　　　　　（2）

　　归纳总结：

　　1．会依题意列不等式．

　　2．要弄清求某些一元一次不等式的解集和特殊解的区别与联系．

　　

一元一次不等式和它的解法（三）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　巩固和提高学生正确运用不等式性质3解一元一次不等式的能力和求一元一次不等式特殊解的能力．

　　（二）能力训练点

　　训练学生运用所学知识解决实际问题的能力，强化用不等式的意识．

　　（三）德育渗透点

　　渗透理论联系实际，理论指导实践的辩证唯物主义观点．

　　（四）美育渗透点

　　渗透不等式知识的奇异的数学美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：尝试指导法、讲练法．

　　2．学生学法：即要熟练掌握不等式的一般解法，又要重视审题，学会根据题意列出合理正确的不等式．

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　（一）重点

　　检验学生解不等式的能力；培养他们运用所学知识解决实际问题的能力．

　　（二）难点

　　根据题意列出相应的不等式解决具体问题．

　　（三）疑点

　　如何准确理解表达不等的语句，准确使用不等号．

　　（四）解决办法

　　加强审题，寻找或概括出不等量关系，从而去布列正确的不等式．

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　投影仪或微机、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过复习不等式的解法，发现学生中易产生的错误，并及时纠正，重点强调变号的问题．

　　2．教师通过范例讲解，说明不等式的有关应用问题，让学生直观去感受、理解，并归纳形成解决问题的一般办法．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　通过本节课的学习，使学生学会分析与不等式有关的应用题中的相等和不等关系，列出一元一次不等式解应用题．

　　（二）整体感知

　　通过对不等式的解法复习，强调推理要有依据，并加深对不等式性质3的理解．同时着重对文字题的教学，目的是提高学生应用不等式解决实际问题及相关内容的能力，教学中注重启发式的应用，层层深入探索解题的思路．

　　（三）教学过程

　　1．创设情境，复习引入

　　（1）解下列不等式

　　① 　　②

　　（2） 为何值时，代数式 的值：

　　①大于1？　　②小于1？　　③等于1？

　　（3）求不等式 的正整数解．

　　师生活动：学生独立完成，教师抽查，投影示出正确解答过程，同桌互阅，指正对方错误，商讨出正确做法．

　　答案：（1）① 　　②

　　（2）① 　　② 　　③

　　（3）1，2，3

　　（4）说出下列不等式的A、B、C变形分别是根据不等式的哪一条性质？

　　① 　　　　　②

　　 　（A）　　　

　　∴ 　　　　　　　

　　 　（B）　　　　 　（B）

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 　（C）

　　学生活动：分析思考，l个（或几个）学生说出答案．

　　【教法说明】  此习题的设计，目的是通过回忆旧知识，强调推理要有依据，并加深对不等式性质3的理解．

　　答案：

　　①A不等式基本性质1；B不等式基本性质3．

　　②B不等式基本性质1；C不等式基本性质3．

　　（5）下面解不等式的步骤是否正确？若有错误，请指出是哪一步，并改正．

　　求的解集．

　　解：①去分母，得

　　②去括号，得

　　③移项，得

　　④合并，得

　　⑤∴

　　学生活动：分析思考，改正错误，并说明理由．

　　【教学说明】学生通过判断正误，提高了识别能力、应用能力，巩固了所学知识，比直接解答效果要好．

　　2．探索新知，讲授新课

　　例1  某次“人与自然”的知识竞赛中共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错或不答扣5分，至少要答对几道题，其得分不少于80分？

　　解：设答对的题数是 ，则答错或不答的题数为 ，根据题意，得，

　　

　　解这个不等式，得

　　

　　答：至少要答对12道题，其得分才不少于80分．

　　例2  关于 的方程 有正数解，则 的取值范围是什么？

　　解：原方程即为

　　

　　

　　

　　由 ，　∴

　　解得

　　答：若原方程有正数解，则 ．

　　师生活动：学生自读例l、例2，教师引导分析题意，师生归纳出解题过程．

　　【教法说明】设置例1、例2，目的是提高学生应用不等式解决实际问题及相关内容的能力，教学时要注重启发诱导，探索解题思路．

　　例3  一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数不小于20，不大于40，求这个两位数．

　　解：设十位数字为 ，则个位数字是 ，这个两位数是 ，依题意，得

　　

　　

　　

　　

　　又 是整数，∴ 或3

　　答：这个两位数是24或35．

　　【教学说明】学生初次遇到联立不等式，在讲解上肯定存在困难，教学时，可先把式子分成两部分观察、分析，即 ， ；分别运用不等式性质，待推出 时，指出：实际上，不等式的基本性质不论是对独立不等式，还是对联立不等式都同样适用．然后，师生共同运用不等式基本性质，解联立不等式，并验证结论，这里，实际上在为学习初二几何三角形三边关系打基础．

　　师生活动：学生重新分析理解上述三个例题，提出自己的疑问，同桌讨论，最后教师释疑．

　　3．尝试反馈，巩固知识

　　略．

　　（四）总结、扩届

　　1．会正确运用不等式性质解一元一次不等式；若不等式两边乘（或除以）未给定范围的同一个字母，需考虑字母的取值，分情况讨论．

　　2．能用不等式知识解决有关实际问题．

　　八、布置作业

　　（－）把例2、例3整理在作业本上．

　　（二）（补充）炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是每分钟0.8厘米，人跑开的速度是每秒钟4米，为了使点导火索的人在爆破时能够跑到100米以外的安全地区，问导火索的长度至少是多少厘米．

　　参考答案

　　（一）略．

　　（二）解：设导火索的长度至少是 厘米，依题意，得

　　

　　

　　

　　

　　答：导火索的长度至少是20厘米．

　　九、板书设计

6.3一元一次不等式和它的解法（三）

　　例1　　　例3　　　　归纳总结

　　例2　　　　　　　　注意：不等式两边同乘以（或除以）同一个字母时，必须考虑
　　　　　　　　　　　　它的取值是正是负． 分 与 两种情况．