第四节 平行四边形的判定

教学设计示例1

　　[教学目标] 通过本节课教学,使学生训练掌握平行四边形的各条判定定理,并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理及以前学过的知识进行有关证明,培养学生的逻辑思维能力。

　　[教学过程]

　　一、准备题系列

　　1.复习旧知识：前面我们学习了平行四边形的性质，哪位同学能叙述一下。（答对者记分，答错的另点同学补充）

　　2.小实验：有一块平行四喧形的玻璃片，假如不小心碰碎了解部分（如图所示），同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来？

　　（让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查。对个别差生稍加点拨，最后请学生回答画图方法） 学生可能想到的画法有：⑴ 分别过A、C作DC、DA的平行线，两平行线相交于B； ⑵过C作DA的平行线，再在这平行线上截取CB=DA，连结BA；⑶ 分别以A、C为圆心，以DC、DA的长为半径画弧，两弧相交于B，连结AB、CB。

　　还有一种一法，学生不易想到，即由平行四边形对角线的特性，引导学生得出 连结AC，取AC的中点O，再连结DO，并延长DO至B，使BO=DO，连结AB、CD。

　　二、引入新课

　　上面作出的四边形是否都是平行四边形呢？请同学们猜一猜。生答后师指出这就是今天所要不得 研究的问题“平行四边形的判定”（板书课题）。

　　三、尝试议练

　　1.要判定我们刚才画出的四边形是不是平行四边形，应当加以证明。第一种画法，由平行四边形的定义可知，它是平行四边形（定义可作性质也可作判定）。

　　2.现在我们来看看第二种画法，这就是平行四边形判定定理一（翻开课本看它的文字叙述）。请想想，一组对边平行且相等的四边形究竟是不是平行四边形呢？这里已知是什么？求证是什么？请写出。

　　自学课本上的证明过程，看后提问：这个证明题不作辅助线行不行？为什么？（因为要证平行线，一般要证两角相等，或互补，要证两角相等，一般要证全等三角形，而这里没有三角形，要连一对角线才有三角形）

　　3.再看第三种画法，在两组对边分别相等的情况下是不是平行四边形？教师写出已知、求证，请两位学生上台证明，其余在课堂练习本上做。（注意考虑要不要添辅助线）

　　完成证明后提问哪些学生是用判定定理一落千丈证明的？哪些是用定义证明的？（解题后思考）

　　四、变式练习

　　1.再看看第四种画法，可知，已各条件是四边形的对角线互相一平分，这种情况下它是不平行四边形？

　　阅读课本上的判定定理之后，要求学生思考用什么方法求证最简便？（应该用判定定理一） 2.变式题

　　⑴两组对角分别相等的四边形是不是平行四边形？为什么？（练习第1题）（口述证明，不要示书面证明）（问要不要添辅助线？）

　　⑵一组对边平行，一组对角相等的四边形是不是平行四边形？（教师补充）

　　⑶一组对边相等，一组对家相等及一组对边相等，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形？（引导学生在草稿纸上画图思考，然后回答不是平行四边形。因为边角不能证全等三角形）

　　⑷自学课本例1思考：此例证明中，什么地方用了平行四边形的“性质”？什么地方用“判定”定理？

　　观察下图：

　　平行四边形ABCD中，＜A、＜C的平行线分别交对边于E和F，求证：AE=FC（怎样证最简便？）

　　五、课堂小结

　　1.今天这节课我们学了什么？平行四这形的判定有哪些方法？试列举之。

　　2.这些平行四边形的判定方法中最基本的是哪一条？

　　3.平行四边形的判定定理和性质有什么关系？同一个证明题中应注意什么地方用判定，什么地方性质？

　　

教学设计示例1

（第一课时）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．掌握平行四边形的判定定理1、2、3、4，并能与性质定理、定义综合应用．

　　2．使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系．

　　3．会根据简单的条件画出平行四边形，并说明画图的依据是哪几个定理．

　　（二）能力训练点

　　1．通过“探索式试明法”开拓学生思路，发展学生思维能力．

　　2．通过教学，使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题，解决问题的能力．

　　（三）德育渗透点

　　通过一题多解激发学生的学习兴趣．

　　（四）美育渗透点

　　通过学习，体会几何证明的方法美．

　　二、学法引导

　　构造逆命题，分析探索证明，启发讲解．

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：平行四边形的判定定理1、2、3的应用．

　　2．教学难点：综合应用判定定理和性质定理．

　　3．疑点及解决办法：在综合应用判定定理及性质定理时，在什么条件下用判定定理，在什么条件下用性质定理（强调在求证平行四边形时用判定定理，在已知平行四边形时用性质定理）．

　　四、课时安排

　　2课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪，投影胶片，常用画图工具

　　六、师生互动活动设计

　　复习引入，构造逆命题，画图分析，讨论证法，巩固应用．

　　七、教学步骤

　　【复习提问】

　　1．平行四边形有什么性质？学生回答教师板书

　　2．将以上性质定理分别用命题的形式叙述出来．

　　【引入新课】

　　用投影仪打出上述命题的逆命题．

　　上述第一个逆命题显然是正确的，因为它就是平行四边形的定义，所以它也是我们判定一个四边形是否为平行四边形的基本方法（定义法）．

　　那么其它逆命题是否正确呢？如果正确就可得到另外的判定方法（写出命题）．

　　【讲解新课】

　　1．平行四边形的判定

　　我们知道，平行四边形的对角相等，反过来对角相等的四边形是平行四边形吗？

　　如图1，在四边形 中，如果 ， ，那么 ．

　　∴ ．

　　同理 ．

　　∴四边形 是平行四边形，因此得到：

　　平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

　　类似地，我们还会想到，两组对边相等的四边形是平行四边形吗？

　　如图1，如果 ， ，连结 ，则△ ≌△ 得到 ， ，那么 ， ，则四边形 是平行四边形．

　　由此得到：

　　平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

　　（判定定理1、2的证明采用了探索式的证明方法，即根据题设和已有知识，经过推理得出结论，然后总结成定理）．

　　我们再来证明下面定理

　　平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

　　（该定理采用规范证法，如图1由学生自己证明，教师可引导学生用前面三种依据分别证明，借以巩固所学知识）

　　2．判定定理与性质定理的区别与联系

　　判定定理1、2、3分别是相应性质定理的逆定理，彼此之间分别为互逆定理，在使用时不得混淆．

　　 例1　已知： 是 对角线 上两点，并且 ，如右图．

　　求证：四边形 是平行四边形．

　　分析：因为四边形 是平行四边形，所以对边平行且相等，由已知易证出两组三角形全等，用定义或判定定理1、2都可以，还可以连结 交 于 利用判定定理3简单．

　　证明：（由学生用各种方法证明，可以巩固所学过的知识和作辅助线的方法，并比较各种证法的优劣，从而获得证题的技巧）．

　　【总结、扩展】

　　1．小结：（投影打出）

　　（1）本堂课所讲的判定定理有

　　（2）在今后解决平行四边形问题时要尽可能地运用平行四边形的相应定理，不要总是依赖于全等三角形，否则不利于掌握新的知识．

　　2．思考题

　　教材P144B．3

　　八、布置作业

　　教材P142中7；P143中8、9、10

　　九、板书设计

　　十、随堂练习

　　教材P138中1、2

　　补充

　　1．下列给出了四边形 中 、 、 的度数之比，其中能判定四边形 是平行四边形的是（　）

　 　A．1：2：3：4　　B．2：2：3：3

　 　C．2：3：2：3　　D．2：3：3：2

　　2．在下面给出的条件中，能判定四边形 是平行四边形的是（　）

　 　A． ， 　　B． ，

　 　C． ， 　　D． ，

　　3．已知：在 中，点 、 在对角线 上，且 ．

　　求证：四边形 是平行四边形．

　　

教学设计示例1

第二课时

　　七、教学步骤

　　【引入新课】

由的定义和性质易得且，即“平行且相等”记为，反过来当时，四边形必为平行四边形，这就是今天要讲的判定定理4（写出课题）．

　　【讲解新课】

　　 （1）平行四边形的判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

　　引导学生结合图1，把已知，求证具体化．

　　分析：因为已知，所以只须证出，为此只需连对角线，通过全等三角形来实现．

　　证明：（由学生口述）

　　师：我们已经全面的掌握了平行四边形的判定方法，共有几个方法？哪几个？由学生归纳后用投影仪打出．

　　（2）平行四边形判定等知识的综合应用

　　教师指出：平行四边形的有关知识同学们都已掌握，但如何灵活、综合、有效地用来解决有关问题是非常重要的．因此，对典型例题的分析、论证、方法技巧的探讨运用都必须引起重视．

例2  已知： ， 分别是 、 的中点，结合图1，求证： ．

　　 分析：证明两条线段相等，从它们在图形中的位置看，可证明两个三角形全等或证明四边形 为平行四边形（显然后者较前者简单）

　　证明：（略）．

　　此例题综合运用了平行四边形的性质和判定，证题思路是：先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用基础知识较多，因此应使学生获得清晰的证题思路．

　　例3  画 ，使 ，，

　　（按课本讲）

　　【总结、扩展】

　　1．小结

　　平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质来解决某些问题，例如求角的度数，线段长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用四边形的性质来解决有关问题．

　　2．思考题：

已知：如图1，在△ 中， ， ．

　　求证：

　　八、布置作业

　　 教材P143中11、12，P144中13、14

　　九、板书设计

　　十、背景知识与课外阅读

　　美妙的莫雷定理

　　已知：如图1， 和 ， 和 ， 和 分别为△ 的 、 、 的三等分线．

　　求证：∠△ 是正三角形．

　　这是英国数学家富兰克·莫雷在1899年提出的，不管从已知条件和结论看，都十分对称美妙，数学家柯克特称它是初等几何最惊人的定理之一．

　　十一、随堂练习

　　教材P140中1、2

　　补充：判断

　　（1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形（　）

　　（2）一组对角平行，一组对角相等的四边形是平行四边形（　）

　　（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形（　）

　　（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（　）