第五节研究性课题与实习作业线性规划的实际应用

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq

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教学设计方案

教学目标

　　（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；

　　（2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

　　（3）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；

　　（4）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．

重点难点

　　理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点。

　　如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点。

教学步骤

（一）引入新课

　　我们已研究过以二元一次不等式组为约束条件的二元线性目标函数的线性规划问题。那么是否有多个两个变量的线性规划问题呢？又什么样的问题不用线性规划知识来解决呢？

（二）线性规划问题的教学模型

　　线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题，一般地，线性规划问题的数字模型是

已知其中都是常数，是非负变量，求的最大值或最小值，这里是常量。

　　前面我们计论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解。比如线性不等式不能用图形来表示它，那么对四元线性规划问题就不能用图形来求解了，对这样的线性规划问题怎样求解，同学们今后在大学学习中会得到解决。

线性规划在实际中的应用

　　线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见问题有：

　　1．物调运问题

　　例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小？

　　2．产品安排问题

　　例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，能使每月获得的总利润最大？

　　3．下料问题

　　例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？

　　4．研究一个例子

　　下面的问题，能否用线性规划求解？如能，请同学们解出来。

　　某家具厂有方木料，五合板，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料、五合板，生产每个书橱需要方木料、五合板，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？如何只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产时可使所得利润最大？

A．教师指导同学们逐步解答：

　　（1）先将已知数据列成下表

　　（2）设生产书桌x张，生产书橱y张，获利润为z元。

　　分析：显然这是一个二元线性问题，可归结于线性规划问题，并可用图解法求解。

　　（3）目标函数

　　①在第一个问题中，即只生产书桌，则，约束条件为

　　∴ 最多生产300张书桌，获利润元

　　这样安排生产，五合板先用光，方木料只用了，还有没派上用场。

　　②在第二个问题中，即只生产书橱，则，约束条件是

　　∴ 最多生产600张书橱，获利润元

　　这样安排生产，五合板也全用光，方木料用去了，仍有没派上用场，获利润比只生产书桌多了48000元。

　　③在第三个问题中，即怎样安排生产，可获利润最大？

，约束条件为

　　对此，我们用图解法求解，

　　先作出可行域，如图阴影部分。

时得直线与平行的直线过可行域内的点M（0，600）。因为与平等的过可行域内的点的所有直线中，距原点最远，所以最优解为，即此时

　　因此，只生产书橱600张可获得最大利润，最大利润是72000元。

B．讨论

　　为什么会出现只生产书橱，可获最大利润的情形呢？第一，书橱比书桌价格高，因此应该尽可能多生产书橱；第二，生产一张书橱只需要五合板，生产一张书桌却需要五合板，按家具厂五合板的存有量，可生产书橱600张，若同时又生产书桌，则生产一张书桌就要减少两张书橱，显然这不合算；第三，生产书橱的另种材料，即方木料是足够供应的，家具厂方木料存有量为，而生产600张书橱只需要方木料。