第一节 平方根

典型例题

　　例1．选择题：下列命题

　　（1） 　（2）

　　（3） 的平方根是 ；　（4） 的算术平方根是 ；

　　（5） 是 的平方根；　（6）0的平方根是0，0没有算术平方根；

　　（7） 的算术平方根是 .

　　中真命的个数是（ ）.

　　（A）1　（B）2　（C）3　（D）4

　　分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义.

　　（1）　 不是 的算术平方根. 故（1）是假命题.

　　（2）题中 是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题.

　　（3）题中 ，由平方根性质：负数没有平方根. 所以（3）也是假命题.

　　（4）中 的算术平方根应是正数，而 是个负数，不符合算术平方根的定义. 故（4）也是假命题.

　　（5） 的平方根是 .此为真命题.

　　（6）0的平方根0就是0的算术平方根，故（6）题也不正确.

　　（7）求 的算术平方根，应是对 进行开方运算，而非平方运算. 故此命题也不是真命题.

　　解：应选（A）

　　小结：平方根、算术平方根是非常重要的概念. 其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算，0的平方根和算术平方极都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联系是：算术平方根是平方根中的正的平方根.

　　例2．求下列各式的值

　　（1） 　（2） 　（3） 　（4）

　　分析： 是求 的算术平方根； 是求81的算术平方根的相反数； 是求 的平方根；而 是求 的算术平方根.

　　解：（1）

　　　

　　（2）

　　　

　　（3）

　　　

　　（4）

　　　

　　小结： 、 、 的区别是 表示正数 的算术平方根； 表示正数 的算术平方根的相反数；而 则表示正数 的平方根.

　　例3．求下列各式中x的值：

　　（1） ；　　（2）

　　分析：这里要求灵活运用开平方的知识来解方程，如果把方程左边展开，则走入误区，必须运用开平方的知识求解.

　　解：（1） ， ，

　　　 ，则

　　（2） ，

　　　 ，则

　　小结：本题不要将原方程利用乘法公式变形展开，把括号里的看作整体处理，因此问题就转化为求平方根问题. 但要注意一个正数的平方根有两个.

　　例4．如果一个数的平方根是a+3与2a-15，那么这个数是多少？

　　分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0.

　　解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以(a+3)+(2a-15)=0，解得a=4,

　　当a=4时，a+3=7，即两个平方根分别为7和-7，故原数为49

　　小结：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解.

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