第四节 应用举例

典型例题

　　【例4】  某灯塔B在观测点A的北30°的方向，船M在灯塔正东方向，且在观测点A的北60°东的方向距A30海里，求若船M在上午11点10分出发，下午1点40分时驶抵灯塔B处，求船的速度（精确到0.1海里）.

　　分析  只需延长MB，归结为解直角三角形问题来加以解决.

　　解：延长MB和正北的方向线相交于C，得.在中，有，所以

　　又，在中，，所以

.

　　于是，有

.

　　据题意，船M行驶到B只用时2.5小时，所以，船的速度为

（海里/时）

　　答：这艘船的速度是6.9海里/时.

　　点拨  由于南北方向线和东西方向线互相垂直.所以航海问题大都能归结为解直角三角形问题；本例由于所给的已知角都是特殊角，所以也可用平面几何图形的性质和勾股定理来解.如设（海里），证

　　于是，根据勾股定理，有

　　由于，所以得

.

　　下同.

　　【例5】 某水坝的断面是梯形，上宽（米），底角，坡BC的坡比，坝高为20米，求坝底的宽（精确到0.1米）.

　　分析  分别解.

　　解：在中，有

；

　　在中，有

　　∴

　　又，，所以

（米）

　　答：坝底宽约为41.5米.

　　【例6】  在距山坡脚B100米的测点A测山顶上高压输电铁塔顶端M的仰角为，测底端N的仰角为，求铁塔的高（精确到0.1米，如图）.

　　分析  和都是直角三角形，且.

　　解：在中，有

，

　　在中，有

　　所以，铁塔的高度为

　　（米）

　　点拨  应当注意，不是视线和水平线的夹角，所以它既不是仰角，也不是俯角.

　　【例7】  某直升飞机在我迫击炮阵地M上方测得敌军雷达站P的俯角为15°，在向点P的迎面沿仰角30°的方向飞行，升高100米后再测点P的俯角为30°，分别求原飞行高度和点M到点P的水平距离（）.

　　分析 据题意，画出图形.如图，仰角，俯角（m）.

　　解可得AG的长.由于和都没有已知的边长所以都不能独立解出，所以应列方程组求解.

　　解：在中，，所以

，

　　设，于是分别在和中，有

　　消去y，整理，得

　　把代入②，得

，

　　于是，有

　　答：我直升机的原飞行高度为米，炮兵阵地M到P的距离为（）米.

　　点拨  在解题时，首先要准确画图，理解题意，确定可解的直角三角形.如果没有直接可解的三角形，不能用一元方程求解，则应考虑到方程组求解.

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