第七节 直线和圆的位置关系

典型例题

　　例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？

　　（1）r=1cm；　（2）r= cm；　（3）r=2.5cm．

　　分析  如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．

　　解：过C点作CD⊥AB于D，

　　　在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，

　　　∴AC=2

　　　 ，∴AB·CD=AC·BC，

　　　∴ ，

　　　（1）当r =1cm时  CD＞r，∴圆C与AB相离；

　　　（2）当r= cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；

　　　（3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．

　　说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系．

　　例2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值．

　　解：过C点作CD⊥AB于D，

　　　在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，

　　　∴AC=2

　　　 ，∴AB·CD=AC·BC，

　　　∴ ，

　　　（1）∵直线AB与⊙C相离，∴0 r<CD，即0<r< ；

　　　（2）∵直线AB与⊙C相切，∴ r =CD，即r= ；

　　　（3）∵直线AB与⊙C相交，∴r>CD，即r> ．

　　说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径．

　　例3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使Rt△PBC∽Rt△APD？

　　分析：若Rt△PBC∽Rt△APD，则∠APD+∠BPC=90°，可知∠APB=90°，所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为⊙O与DC相切，所以存在一点P，使Rt△PBC∽Rt△APD．

　　解：设以AB为直径的圆为⊙O，OP⊥DC，则：

　　　OP为直角梯形ABCD的中位线，

　　　∴OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又∵OA=OB=AB/2=3，

　　　∴OP=OA，∴⊙O与DC相切，

　　　∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°．又∵∠PBC+∠BPC=90°，

　　　∴∠APD=∠PBC，又∵∠C=∠D=90°，∴Rt△PBC∽Rt△APD．

　　　因此， DC上存在点P，使Rt△PBC∽Rt△APD．

　　说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O相交、相离．

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