第八节 切线的判定和性质

典型例题

　　例1、如图，△ABC内接于大⊙O，∠B＝∠C，小⊙O与AB相切于点D．求证：AC是小圆的切线．

　　分析 AC与小⊙O的公共点没有确定，故应过O作AC的垂线段OE．再证明OE等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC是小圆的切线．

　　证明  连结OD，作OE⊥AC于E．

　　　∵∠B＝∠C，∴AB=AC．

　　　又AB与⊙O小相切于D，∴OD⊥AB．

　　　∵OE⊥AC，∴OD=OE．

　　即小⊙O的圆心O到AC的距离等于半径，所以AC是小圆的切线．

　　说明：（1）本题为证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110页例4的变形题．

　　例2、（大连市，l 999）阅读：“如图△ABC内接于⊙O，∠CAE=∠B．

　　求证：AE与⊙O相切于点A．

　　证明：作直径AF，连结FC，则∠ACF＝90°．

　　　∴ ∠AFC+∠CAF＝90°．  ∵∠B＝∠AFC．

　　　∴ ∠B+∠CAF＝90°．  又∵ ∠CAE=∠B，

　　　∴ ∠CAE+∠CAF＝90°．  即AE与⊙O相切于点A．

　　问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．

　　如图，已知△ABC 内接于⊙O．P是CB延长线上一点，连结AP．且PA²＝PB·PC．

　　求证：PA是⊙O的切线．

　　证明：∵PA²＝PB·PC，∴ ．

　　　又∵ ∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA．

　　　∠PAB=∠C．

　　由阅读题的结论可知，PA是⊙O的切线．

　　说明：（1）此题的阅读材料来源于教材第117页B组第1题；（2）应用“连半径证垂直”证明切线．

　　例3、（西宁，1999）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为直径的⊙O交斜边AB于E，OD∥AB．

　　求证：（1）ED是⊙O的切线；（2）2 DE²＝BE·OD

　　证明：（1）连结OE、CE，则CE⊥AB．

　　　在Rt△ABC中，∵OA=OC，OD∥AB，

　　　∴D为BC的中点，∴DE=CD，

　　　又∵OC=OE，OD=OD，

　　　∴△COD≌△EOD，∴∠OED=∠OCD=90°，

　　　∴ED是⊙O的切线．

　　　（2）在Rt△ABC中，CE⊥AB，∴△CBE∽△ABC，∴CB²＝BE·AB，

　　　∵OD为△ABC的中位线，∴AB=2OD，BC=2ED，∴（2ED）²＝BE·2OD

　　　即2DE²＝BE·OD

　　说明：此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识．

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