第五节 一元二次不等式的解法

例1 解不等式

　　分析 在不等式的一次项系数中含字母，判别式的符号不能确定，需要讨论来解决．

　　解：

　　当 ，即 或 时，



　　当 ，即 时，

　　当 ，即 时，

　　说明 这是较常见的带字母的一元二次不等式，在解题时，注意分类讨论的思想．

例2 解不等式 （ 为参数）

　　分析 这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论．

　　解：原不等式可化为

　　若 ，则 ，即 ，原不等式的解集为 ；

　　若 ，即 或 ，则原不等式的解集为 ；

　　若 ，即 或 ，则原不等式的解集为

　　因此，当 时，原不等式的解集为 ；当 或 时，原不等式的解集为

    说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题．

例3 已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。

　　分析 此不等式带有两个字母，但不是求解集，而是给出了解集，求字母的值．这就需要逆向思维，根据解集来找相对应的二次方程的解，结合二次函数的图象判断二次项系数的符号等等．

　　解：方法一：

　　显然 ，由 ，得 ，变形得 ，所以

　　方法二：

 与 是方程 的两根，

　　故有 ，解得 （此处注意韦达定理的应用）。

　　评析：由二次函数 的图象可知，当 时， ，即抛物线的开口向下，且与 轴两交点的横坐标是 和 ，也就是说一元二次方程 的两个根为 ， ，因此由方程根与系数的关系可求出 的值。显然，二次不等式的解集是由二次函数结合二次方程求得；反之，也可由二次不等式的解集确定二次函数图象和二次方程的实根，本题的求解过程，正是根据三者之间的内在联系。

例4 不等式 的解是全体实数，求实数 的取值范围。

　　分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图象，知此时应有 且 ，特别要强调此时 。

　　解：若 ，不等式为 ，其解集为

　　若 ，不等式为 ，其解集显然不是全体实数，故 不符合条件。

　　若 ，不等式为二次不等式，有



解得

 　

即

　　综上得，

　　说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论，当二次系数含有字母时，应首先考虑其值是否为零。

例5 当 为何值时，关于 的方程 的两根分别在落在0和1，1和2之间．

　　分析：实系数一元二次方程 若有二实根，则此二根即为二次函数 的图象与 轴的交点的横坐标。如图所示，本题相应的二次函数图象与 轴的交点应位于区间（0，1）和（1，2）内。于是，可由 ，1，2时的函数值的正负情况确定 的范围。

解：设 ，它的图象为开口向上的抛物线，依题意，抛物线与 轴的两个交点分别在区间（0，1）和（1，2）内，如图所示。因此必须满足如下条件：

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　当 时， ，

　　即  

解此不等式组得

　　所以当 时，方程 的两根分别在区间（0，1）和（1，2）内。

　　证明：此题涉及到利用函数图象来判断在特殊值的符号，要让学生注意到在根的两侧的函数值符号相反．

例6 已知 ，且 ，（ ），求实数P的取值范围。

　　解：由 知，关于 的二次方程 无正根。

　　（1）若方程无实根：

，得 ；

　　（2）若方程有实根 ， ，但无正根；此时由 ，得 或 ，而由韦达定理

　　由 知两根均为正或均为负，由条件显然须 ， ，于是 ，

∴

　　因此

　　由上述的（1），（2）得 的取值范围是

　　注：要注意 的可能性，否则会“缩小”解的范围，特别对于 的存在，初学者往往容易忽略。

例7 解关于 的不等式：

　　分析：由于字母系数 的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数 可正、可负，且对应二次方程的两个根2， 的大小也受 的影响，这些都应予以考虑。

　　解：当 时，原不等式化为 ，其解集为

　　当 时，有 ，原不等式化为 ，其解集为

　　当 时， 。原不等式化为 ，其解集是

　　当 时，原不等式化为 ，其解集是

　　当 时，原不等式化为 ，其解集是

　　说明 对于二次项系数含有字母的不等式，一定要注意对二次项系数讨论，分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况．

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