第七节 二倍角的正弦、余弦、正切

　　例1．求 的值．
　　分析：逆用二倍角公式，或构造对偶式列方程求解．
　　解：解法一：
　　
　　
　　 ，
　　∴ ．
　　解法二：
　　原式
　　　　　　 ．
　　解法三：令 ， ．
　　则
　　　　　
　　　　　 ．
　　　　∵ ，∴ ．
　　从而有 ．
　　小结：对于本题，如若简单地从形式上看，为利用二倍角正弦公式而同乘同除式子
；或原式 后，简单地应用二倍角的余弦公式都将无益于问题的解决，反而会陷入思维的简单循环之中．因此，当我们面对一个较为陌生的问题时，应认真分析问题的特征，积极地进行联想化归，切实做到缜密稳妥地设计解题思路．
　　（1）有些数学问题，可根据其本身特点，相应地构设与其相同“匹配”的另一整体，然后由其“相依而伴”的关系进行求解．如解法三，这种解题方法称为积式配对．
　　（2）角度成等比（公比为2）的同名弦函数的乘积通常可按解法一、二来求解．

　　例2．设 ， ，求 的值．
　　分析：观察问题的角度状况，从已知条件和被求式的角度差异来看，一方面应将条件中的角度变换为 、 ，另一方面应将被求式中的角度 、 变换为 、 ．要实现上述想法只需将两已知条件相乘，将被求式利用升幂公式即可办到．解：两已知条件相乘，可得 ，
　　化简为 ，
　　∴ ．
　　小结：根据问题的具体特点，从变换已知条件和被求式的角度入手，进行双向变换实现角度的统一，然后利用代入法将已知条件代入被求式，从而达到求值的目的，这就是解答本题的脉络．

　　例3．已知 ， ．求 的值．
　　分析：若对结论“切化弦”后再化简不难发现，只需求出 和 的值即可，注意到 ，就可以发现求解的途径了．
　　解：∵ ，∴ ．
　　又∵ ，∴ ，
　　　∴ ， ．
　　又∵
　　　　　　　 ，
　　∴原式
　　　　　
　　　　　 ．
　　小结：（1）本题也可以由 得 ，再将要求解的三角式化为用 表示的形式．
　　（2）本题解法中巧妙地利用了“角的变换” ，使求解过程不致于繁杂．
　　（3）若不注意 的范围，就会导致由 求出 而不知取舍．

　　例4．设 ， ， ．求证： ．
　　分析：条件恒等式的证明，要注意观察条件和结论之间的差异．主要是看角，看函数的名称、次数．对于本题，从角的差异入手，将角变形为 ， ，从已知条件变形入手，可证得结论．
　　证明：由 ，得，

　　整理，得 ．
　　为 ， ，将上式两边同除以 ，得 ．
　　小结：证明条件恒等式，一般有两种方法，即推出法与代入法，无论使用哪一种思路都要盯住目标，据果变形．若用推出法，则应盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况（一般要看角、函数名称、次数），采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到目标．若用代入法，就要盯住作为目标的被证等式的一边，根据它对欲证等式的另一边及条件进行变形，先创造机会，然后代入条件，最终推出目标．

　　例5．如图，在某点 处测得建筑物 的顶端 的仰角为 ，沿 方向前进30米至点 处测得顶端 的仰角为 ，再继续前进 米至 点，测得顶端仰角为 ，求 的大小和建筑物 的高．
　　分析：根据题意结合图形观察给出各数据间的关系，将题目数学化，抽象为纯数学问题．
解：由已知， 米， 米
　　在 △ 中， ，
　　在 △ 中，

　　∴ ，同理可得：
　　
　　于是： 即
　　而
　　∴ 　 ，
　　∴ 米
　　于是： ，建筑物高为15米．
　　小结：这是一个三角函数在测量方面的应用问题，在解决过程中运用了几何知识和方程的思想，但三角式的化简起到了关键作用．