第四节 复数的加法与减法

　　例1 计算

　　（1） ；  （2） ；

　　（3）

　　分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。

　　解：（1）

　　（2）

　　（3）

　　例2 设复数满足 ，求 的最大值和最小值。

　　分析：仔细地观察、分析等式 ，实质是一实数等式，由其特点，根据实数的性质知若 ，则 ，因此已知等式可化为

　　解：由已知等式得

　　即 ，它表示的以点P（－4，3）为圆心，半径 的圆面。

　　如图可知 时， 有最大值 ； 时 有最小值

　　小结：求复数的模的最值常常根据其几何意义，利用图形直观来解。

　　例３ 复数 ， ， ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。

　　分析1：利用 或者 求点D对应的复数。

　　解法1：设复数 ， ， 所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为 （ ）则    

　

　　∵
　　∴

　　∴  解得

　　故点D对应的复数

　　分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解．

　　解法2：设复数 ， ， 所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为 （ ）

　　因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心．

　　∴ 点O也是B与D点的中点，于是由

　　∴

　　故D对应的复数为

　　小结：解题1一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法，解法2利用正方形是如C对称固形，解题思路较巧．

典型例题（二）　　

　　例４ 已知 ， （ ）分别对应向量 ， （O为原点），若向量 对应的复数为纯虚数，求 的值。

　　分析： 对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出 对应的复数，再利用复数为纯虚数的条件求解即得。

　　解：设向量 对应复数

　　∵

　　∴

  

　　　

　　∵ 为纯虚数，∴  即

　　∴

　　例５ ，求 对应的点的轨迹方程．

　　解： ，则

　　又 ，故有

　　∴

　　∴ 对应点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆．

　　小结：由减法的几何意义知 表示复平面上两点 ， 间的距离．

　　当 ，表示复数 对应的点的轨迹是以 对应的点为圆心，半径为 的圆．

　　当 ，表示以复数 ， 的对应点为端点的线段的垂直平分线．

　　当 （ ），则表示以复数 ， 的对应点为焦点的椭圆．

　　当 （ ），则表示以复数 ， 的对应点为焦点的双曲线．

　　例６ 已知 （ ）且有 ，求满足上述条件的复数 所对应的曲线，并将其画出．

　　分析：不妨将复数 写成代数式 ，由模的性质可将复数方程转化为代数方程，再确定它所表示的曲线．

　　解：设 （ 且不能同时为零）

　　∵

　　∴  ∴ 或

　　又 ，

　　∵

　　故满足已知条件的复数Z所对应的曲线是圆 及 轴（不包括原点）在圆 的外部的那部分曲线，如图中粗线所示．

　　例７ 在复平面内， 的顶点O为坐标原点，顶点A、C对应的复数分别为 ， ，若点B在单位圆内，求实数 的取值范围。

　　分析：要求点B在单位圆内，实际上是 ，只要求出点B对应的复数，利用模的定义就可求解。

　　解：设点B对应的复数为

　　根据平行四边形法则，

　　∴

　　由题意知

 即

　　∴