第一节 基本原理

　　例1 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

　　分析与解：分析个位数字，可分以下几类．

　　个位是9，则十位可以是1，2，3…，8中的一个，故有8个；

　　个位是8，则十位可以是1，2，3…，7中的一个，故有7个；

　　与上同样

　　个位是7的有6个；

　　个位是6的有5个；

　　……

　　个位是2的只有1个．

　　由加法原理知，满足条件的两位数有

（个）．

　　说明：本题是用加法原理解答的，结合本题可加深对“做一件事，完成之可以有n类办法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有n类办法”，这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用加法原理．

　　例2 二年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．

　　分析与解：男生38人，女生18人，

　　由乘法原理共有 （种）

　　答：选取代表的方法有684种．

　　说明：本题是用乘法原理解答的，结合本题可以加深对“做一件事，完成之需要分成n个步骤”的理解，所谓“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次，分步时还要注意满足完成这件事情必须并且只需连续完成这对 个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用来法原理．

　　例3 如图所示，在联结正八边形的三个顶点而成份三角形中与正八边形有公共边的三角形有多少个？

　　解：由题意知满足条件的三角形分为两类：

　　第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有 个．

　　第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有 个．

　　由加法原理满足条件的三角形共有 个．

　　例4 有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，有多少种不同取法？

　　分析：任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本；二、取语文、英语各一本；三、取数学、英语各一本．然后求出每类取法，利用加法原理即可得解．

　　解：取出两本书中，一本数学一本语文有 种不同取法，一本语文一本英语有 种不同取法，一本数学，一本英语有 种不同取法．

　　由加法原理知：共有 种不同取法。

　　说明：本例是一个综合应用乘法原理和加法原理的题目，在处理这类问题时，一定要搞清哪里是分类，哪里是分步，以确定利用加法或乘法原理。

　　例5 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（    ）

　　A． 6种        B．9种    C．  11种               D． 23种

　　分析与解1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法．同理，A拿c ，d时也各有三种不同的分配方式．由加法原理，四张贺年卡共有3＋3＋3=9种分配方式．

　　分析与解2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先拿有3种，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由乘法原理，四张贺年卡不同的分配方式有 种．

　　∴ 应选B．

　　注意：（1）本题从不同的角度去思考，从而得到不同的解答方法，解法1是用加法原理解答的，解法2是用乘法原理解答的．在此有必要再进一步对两个原理加以理解：

　　如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用加法原理．

　　如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用乘法原理．

　　（2）加法原理、来法原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

返回页首