第二节 排列

典型例题

例1 用0到9这个个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

　　分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

　　如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．

　　 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．

　　如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．

　　解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有 个；

　　当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 （个）．

　　∴ 没有重复数字的四位偶数有

　　 个．

　　解法2：当个位数上排“0”时，同解一有 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得： 个

　　∴  没有重复数字的四位偶数有

　　 个．

　　解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 个，千位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 个

　　∴ 没有重复数字的四位偶数有

　　 个．

　　解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．

　　没有重复数字的四位数有 个．

　　其中四位奇数有 个

　　∴ 没有重复数字的四位偶数有

　　

　　

　　

　　

　　 个

　　说明；这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．

例2 三个女生和五个男生排成一排

　　（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？

　　（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

　　（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

　　（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

　　解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 对种不同的排法，因此共有 种不同的排法．

　　（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 种方法，因此共有 种不同的排法．

　　（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，所以共有 种不同的排法．

　　解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法．

　　解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法，

　　（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 种不同的排法；如果首位排女生，有 种排法，这时末位就只能排男生，有 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有 种不同的排法，这样可有 种不同排法．因此共有 种不同的排法．

　　解法2：3个女生和5个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生排法 种，就能得到两端不都是女生的排法种数．

　　因此共有 种不同的排法．

　　说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．

　　若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．

　　若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．

　　间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．

　　捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．

例3 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．

　　分析与解法1：6六门课总的排法是 ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有 种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有 种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是：

　　 （种）．

　　分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况：

　　（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有 种；

　　（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法 种；

　　（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法 种；

　　（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法

　　这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：

　　 （种）．

　　分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况：

　　（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有 种排法；

　　（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法；

　　（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法；

　　（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法．

　　上述 21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种 ，故总排法数为 （种）．

　　下面再提出一个问题，请予解答．

　　问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法．

　　请读者完成此题．

　　说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法．