第四节 分式的加减法

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关于“分式”教学中的几个问题

（蔡上鹤）

　　一、 应该怎样了解分式的意义

　　所谓分式，是从它的表示形式上去认识的。教科书第59页上说：“一般地，用A，B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式．如果B中含有字母，式子就叫做分式。”但教科书上未说只有这样的式子才是分式。实际上，由整式与这样的式子之间的运算（这里把乘方运算看作乘法运算的特殊情况，并规定两式相除时除式不为0）所组成的式子，也属于分式的范围。因此，可以进一步有以下的认识：

　　

　　由此应该让学生知道：

　　1.是分数，但不是分式，而是整式。

　　2. 是整式，而不是分式。

　　3. 应看作分式，而不看作整式。

　　4. 也应看作分式，尽管计算（化简）的结果是整式。

　　5. 两个整式相加、相减、相乘，所得的结果仍是整式；两个整式相除（除式不为0，下同），商式不一定是整式。两个分式进行四则运算，结果可能仍是分式，但也可能是整式。两个有理式进行四则运算，结果仍是有理式。

　　6. 分式的分母中必定含有字母，但分子可以不含字母。

　　7. 分式的分母中的字母在取值时，必须使分母的值不等于0。像 这样的分式，分母的值总是不等于0的；但像 这样的分式，分母的值不总是不等于0，字母x的取值是有限制的，这里x不能等于1，也不能等于－1。

　　8. 如果分式的分子、分母都含有字母，那么只有在分子的值为0而分母的值不为0时，这个分式的值才能为0。所以，在考虑分式的值时，一定要排除分母中的字母取某些值使分母的值为0的情况。

　　二、学习分式的基本性质时，应该让学生注意些什么

　　1. 分式的基本性质由六部分构成，这就是：

　　（1）分式的分子与分母；（2）都乘以（或除以）；（3）同一个；（4）不等于0的；（5）整式；（6）分式的值不变。

　　其中（1）～（5）是条件，在“（1）分式的分子与分母”前省去了“如果”两个字；“（6）分式的值不变”是结果，它的前面省去了“那么”两字。要注意条件句中的“都”、“同一个”、“不等于0”和“整式”等四个词语，它们保证了“分式的值不变”这一结果。

　　2. 让学生弄懂分式的基本性质是为了运用它。运用这一性质主要是解决“确定分式的符号”“约分”和“通分”问题。这里应注意以下两点：

　　（1）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变（见教科书第64页）。

　　（2）进行约分、通分的前提是把分式的分子、分母进行因式分解。

　　三、如何正确进行异分母分式的加减法

　　应向学生讲清以下各步骤：

　　1. 正确地找出各分式的最简公分母。

　　2. 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。

　　3. 用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。

　　4. 公分母保持积的形式，将各分子展开。

　　5. 将得到的结果化成最简分式。

　　例如：计算
　　解：

　　= (把分母中的多项式重新排列，以便进行因式分解)
　　= (把分母因式分解，以便求出最简公分母)
　　= (第2步，通分)
　　= (第3步，同分母分式减法法则)
　　= (将分子展开，分母保持积的形式)
　　= (把分子化简)
　　= (把分子因式分解，以便把分式化为最简分式)
　　= 。(化为最简分式)

　　四、如何正确进行分式的混合运算

　　应向学生讲清以下各要点：

　　1. 分清运算级别，按照运算顺序“从高到低，从左到右，括号从小到大”的规定进行。

　　2. 将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算。

　　3. 遇到除法运算时，可以先化成乘法运算。

　　4. 注意处理好每一步运算中遇到的符号。

　　5. 最后结果要注意化简（在运算或化简的过程中，不要把分母去掉，这是误把分式运算当作解分式方程造成的，也是学生常犯的错误）。

　　6. 在运算过程中，每进行一步都要检验一下，不要到最后才检验。

　　五、含有字母系数的方程 ax=b 是不是一元一次方程

　　不一定。对于这个方程的解的情况，可以进行以下的讨论：

　　1. 当 a≠0 时，ax=b 是一元一次方程，它有且只有一个解。

　　2. 当 a=0 时，但 b≠0 时，ax=b 不是一元一次方程，任何数都不适合于这个方程，所以方程无解。

　　3. 当 a=b=0 时，ax=b 不是一元一次方程，任何数都适合于这个方程，所以方程有无限多个解。

　　由上可见，当学生学习“含有字母系数的一元一次方程”时，应提醒他们不要忘记在方程后面用括弧加注的有关字母的限制条件。如果漏掉了这一限制条件，原方程就不能化成一元一次方程了。遇到这种情况，就要对字母的取值进行讨论，问题也将变得复杂得多。

　　六、解分式方程时什么情况下会产生增根

　　学生在解一个方程时，如果出现了增根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。

　　1. 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程x－2=0的两边都乘x，变形成x（x－2）=0，新方程就比原方程多出一个根x=0．这是因为在方程两边都乘了一个x，这相当于用0乘以原方程的两边（0适合于新方程），而这是违反同解原理的。

　　2. 解分式方程时，去分母不一定会出现增根。在将一个分式方程变形时，往往先将它化为整式方程，于是在分式方程的两边都乘以各分母的最低公倍式，这样可能不违反同解原理，也可能违反同解原理，如将方程 两边都乘以x，变形成x－2=1，新方程有一个根x=3，它也是原方程的根。x=3不是原方程的增根，这是因为在方程两边乘的x，是一个相当于3的非零数，这样做没有违反同解原理。

　　判别增根，只要通过把新方程的根代入去分母时在原方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。

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