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作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:13阅读：nyq
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现代教育技术与数学教育
北大 北京市海淀区数学CAI课题组 王鹏远
一、背景：数学教育面临的两个课题
我们正面临深刻的变革。历史上，技术从来没有象今天这样能施展它的魔力，如此迅速而广泛地改变着社会。以计算机和通讯为代表的信息技术似乎缩短了“未来”与“现实”的距离，近两年，人们突出感到了信息社会发展的急促脚步！当诸如PC机、CD－ROM、多媒体、网络、信息高速公路等新名词不断向人们涌来的时候，它们其实已迅速地进入到现实生活中了，而我们的思想却跟不上这些技术带来的变化。这就是撰写本文的背景。时代要求我们考虑信息技术与数学教育的关系，尽管这个课题对谁说来都是崭新的，谁都把握不准，但却迫切需要人们给予认漳回答。
在某种意义上说，当前的数学教育面临着两大课题。其一是信息革命对数学与数学教育提出了哪些新的要求，或者说数学教育应该进行哪些改造才能满足信息社会的需要；其二是现代教育技术对数学教学改革能发挥哪些作用，在新技术的支持下能否创设更理想的数学教育，以克服传统教育难以解决的某些困难？对以上两个问题，广大数学教师的思想准备似乎并不充分。
如今多数数学教师尚未完全摆脱对计算机的神秘感，而未来学家尼葛洛庞帝（Negroponte)的“数字化生存”却已成为“纽约时报”排行榜的畅销书，此书描绘了数字科技给我们的生活、工作、教育、娱乐带来的种种冲击和其中值得深思的问题。半个世纪前，作为人类发展史上一个重要里程碑的计算机出现了，今天由它引起的信息革命对社会正产生越来越广泛的影响。计算机革命的冲击力所以如此迅猛，是因为作为人脑的延伸，它正以惊人的速度深刻地改变着人们的工作方式、生活方式与思维方式。这是历史上的产业革命无法与之比拟的。仅仅举出下列事实就足以说明问题了。70年代，美国的未来学家针对计算机终端的普遍使用，作了一个就业展望。考察的结果令人吃惊：一半以上的职业将不复存在，其余大多数也将从根本上受到影响！这就是说现在正在为未来的就业而学习的青年人将面临一种危机，即在他们一开始走向生活时，他们原本要从事的职业可能已不复存在了。这就是我们所处的时代，一个迅速变化而充满竞争的时代。这促使人们思考以下一些重要的问题；那就是信息时代中数学与数学教育处于一个什么样的位置？考虑到计算机的发展和广泛应用，学生应该多学一些数学还是少学一些呢？信息时代的数学教育怎样才对青年人 的未来发展更加有利？
另一个问题是以计算机为代表的现代教育技术能对数学教育的改革注入怎样的活力。数学教育需要技术吗？从多数老教师的眼光看，这个必要性并不迫切，对数学教学而言，广大教师习惯了的粉笔与黑板看来已经够了。事实上，如果拿今天的数学教学与五六十年前相比，教学手段没有什么大的变化。尽管近两年许多学校配备了计算机教室，但基本上没有能与数学教学相结合，计算机技术在教学中的优势还没充分地显示出来。同时，对于计算机专业人员开发的数学教学软件，教师又不怎么满意，认为对数学教学的实际意义不大，因而对计算机辅助教学的兴趣不高。那么问题到底出在哪里呢？是传统教学的习惯对技术带来的变革的阻力，还是计算机技术本身的局限？根据数学与数学教学的特点，计算机技术能在数学教育中形成哪些优势，哪些又是计算机在当前不易表现的？教育技术对数学教学的内容、方法、模式、观念将产生什么影响？教师的工作方式和思维方式会发生什么变化？这些都需要认真加以讨论。但不管怎样，有一点是肯定的。那就是我们再也不能无视技术的进步而把自己封闭起来，数学教育应该从技术的进步中获得有力的支持。
我们以为，对上述两个方面的讨论有重要的意义。在当前，考虑21世纪的数学教育，上述问题显得尤为迫切。以下我们就上述两个方面谈些粗浅的看法，与大家探讨。
二、计算机化还是数学化：对数学教育的影响
在对“如何迎接21世纪挑战”的讨论中，计算机的重要性已经被广泛认识，人们普遍谈论着“计算机是进入21世纪的通行证”。但是数学在未来社会的重要性却没有引起足够的关注，接受“数学盲难以进入21世纪”观点的人并不多。那么未来社会的特点是“计算机化”还是“数学化”，既然计算机的功能如此强大那么是否可以少学一些数学呢？
实际上，情况恰恰相反，在信息社会里，正是计算机的广泛应用，加速了现代社会的‘数学化’进程。由于越来越多的问题需要归结或表示成为能用计算手段处理的数学问题，数学科学在社会发展中的地位空前提高了。有的专家认为，计算机作为一种功能强大的计算工具，对推动计算方法的进步有划时代的意义。计算机超乎人们想象的计算速度，使一大批原本由于手工计算的局限而难以解决的问题，一下子获得了解决。于是计算机把计算方法推向了人类科学活动的前沿，成为与实验、理论推导并列的第三种科学方法。“由计算机推动的当代计算方法的兴起，并形成与实验方法、理论方法并立之势，是伽利略、牛顿以来在科学方法论上的最大进展，推动着科研实践中一场深刻的，不可逆转的变革。”
当前，数学和计算机结合起来已经形成一种所谓的“数学技术”，在社会的经济发展中起着举足轻重的作用。在当代计算机最发达的美国，有识之士认为数学科学对保持其经济竞争力至关重要。由James G .Glimm教授主编的一份报告“数学科学·技术·经济竞争力”很值得一读。该报告从美国的主要工业部门对数学的依赖性，从数学在产品周期的每一个环节中扮演的角色，从数学科学对建立技术基础并产生巨大经济效益的贡献，令人信服的说明“数学科学对经济竞争力生死悠关，数学是关键的、普适的、培养能力的技术。”可见，计算机不仅没有削弱数学的作用，反而极大地增强了数学科学的地位。在某种意义上讲，是计算机的飞速发展把数学推上了从来未曾有过的重要位置,信息时代就是一个“数学化的时代”。这个时代决不是仅仅要求人们掌握电脑的简单操作，而是要求每个人比以往任何时候都更懂数学，更善于进行数学地思考。
事实上，计算机并不是法力无边的，它不会自己建立数学模型，不会设计适当的算法，也不会自行编制程序软件。计算机擅长的，只是按人们编制的软件程序快速的进行数字计算和符号演算。在这个意义上容易理解数学可以帮助人更好地驾驭计算机，计算机越发展就越需要数学修养高的人。正是计算机与数学的结合才获得了广泛的成功，甚至根本改变了许多技术领域的面貌。例如，
飞机的工程设计和制造工艺全靠计算机辅助设计（CAD〕和计算机计算机辅助制造（CAM〕，而这两者又都以数学为理论基础。尽管气动方程早在150年前就问世了，但直到本世纪60年代初，有了计算机以及由此兴起的有效的计算方法之后，气动方程才开始在实际中应用起来。气动计算（指在计算机上解气动方程和飞行器流场的数值模拟计算〕促进了飞机和导弹设计工作上的一场变革。美国波音767飞机和欧洲空中客车A310飞机的机翼设计是采用气动计算手段成功的先例。它们比以前单考实验手段设计的同类机种减少了飞行阻力，节约燃料20％。以400架飞机飞行15年，每加仑汽油1? 3美元计，效益可达100亿美元。这种气动计算或称为“数值风洞”不但节约了经费还能极大地缩短设计周期。
石油资源的勘探与开采对国民经济的发展起重要的作用。而油田的特征依赖于地质统计学、随机场论、信号处理、傅里叶分析以及那些用来描述地震信号的波动、弹性方程的解，以及逆问题的解。石油在油田中的流动模式是石油工程关心的中心问题，这些模式可用计算方法来研究。这些计算法主要依赖与有限元法、有限差分法、自适应网格加密法、快速傅里叶变换、自由边界问题以及并行计算等等。此外排队理论还被用来规划油罐的终点与运送。石油的精炼设计又离不开微分方程和控制论。石油的二次或三次回收开采中计算机与计算数学的应用越来越重要，美国有人估计如能提高石油10％?/FONT>20％的回收率（指二次或三次采油），经济效益可达千亿美元，相当于发现一个北海油田。
其他如天气预报、工程设计、市场预测、生产组织、经济运行、物资合理调配、人口和资源的普查、生物统计学与流行病学、乃至医学上的CT技术都广泛用到了计算机与数学。计算机快速处理大量信息的功能使诸如贸易、经济、语言、生物、医药以及社会学的诸多领域能够进行定量研究，并对信息进行逻辑分析。这一切说明计算机为数学提供了通往科学、工程技术和社会生活广泛领域的通道。计算机开辟了一个高技术时代，也开辟了一个数学化时代。在这个意义下可以说明，信息社会要求它的成员具有更自觉的数学意识，更灵活的数学头脑。于是紧跟着的问题是，数学教育如何才能满足这些要求？
首先是数学教育的目的。传统数学教育中数学学习是紧密与升学联系的，而信息时代的数学教育要求提高全社会成员的数学素质。通过数学教育，学生应该对数学的价值有正确的认识，懂得数学在信息社会中应用的广泛性。当学生明确足够的数学不再仅与升学有关，而是在信息社会中求职和成功机遇的重要因素时，“数学有用”的观念就能深入人心，成为有效的激发学生学习数学的动力。
以这一观点审视当前的数学教育，一个重大的缺陷是缺乏时代感。这倒不是说要把高等数学下放到中学讲，但起码应在数学教学的过程中渗透数学与实际的紧密联系，帮助学生树立正确的数学态度。是否可增加些作为信息社会公民应具备的基本数学常识，如统计、概率、误差、图表、图象、程序、逻辑等内容？就是传统的教学内容，从问题的引入、展开、到内容的取舍也需重新加以斟酌，如方程与函数教材的处理、方程的引入情景、方程的精确解和近似解、方程组解法的侧重点、对数的概念与常用对数的比重、数表计算尺计算器的使用等等。一个明显的问题是随着计算机的广泛使用，许多社会生活的实际问题由于克服了手工计算的障碍能够进入数学教学了。数学教育可以而且应该突出它鲜明的时代特性。
其次，我们以为数学教学中是否应渗透计算机意识。这不是说把数学课变为计算机课，而是要学生意识到越来越多的问题可以归结或表示成为能用计算机手段处理的数学问题。当初笛卡儿在《思想的指导法则》里设计了一个解决各种问题的模式：
（1）把任何问题化成数学问题。
（2）把数学问题化成一个代数问题。
（3）把代数问题归结为解方程式。
笛卡儿这里要给出解决天下所有问题的万能模式。虽然这是不切实际的，但他的思想是深刻的，特别对计算机技术迅速发展的今天有现实意义。实际上可以用计算机处理的问题是相当广泛的。为此，首先需要找到能反映问题规律的数学模型，然后寻求适当的算法，再编制计算机能识别的程序。在上机运算以前有大量的数学工作要做。所谓在数学教学中渗透计算机意识，就是要渗透数学模型的思想，算法的思想和程序的思想。这些在当前的教学中是薄弱的，有些时候我们太注重一些只有欣赏价值的技巧，而对整体的数学思想方法重视不够，对如何培养学生提出问题、分析问题和解决问题能力尚缺少研究。
再一个问题是数学能力的培养。传统的数学教育强调三大能力，即运算能力、逻辑思维能力和空间想象力。其中至少关于运算能力就需要考虑计算机的因素，例如有了计算机，数学表、十进对数和计算尺的作用显然降低了。过去教学中的笔算、心算、表算、尺算现在需要重新加以考虑，它们对学生今后的发展与实际应用起什么作用？对于数与式的计算应该要求到什么程度？一方面，即使有了计算机，有些基本的笔算和心算技能也应严格训练，不能松懈；另一方面，有些传统的教学要求已经不符合今天的发展了。例如，因式分解中技巧性太强的题目可否删去，过于繁复的代数式与三角式的化简可否不再要求？而适于上机操作的迭代递推等算法可否适当介绍一些。进一步，计算机（器〕的简单操作、计算机的数学应用程序（如“几何画板”、“Mathmatica”……)是否应进入教学？从我们的实践看，如果学生掌握了一些数学应用程序对他们利用计算机学数学是非常有利的。
当然计算机对数学教学带来的影响决不只这些，例如设计计算机程序必然涉及各种计算机语言，而这又需要数理逻辑的基本知识。传统的数学教学中逻辑思维能力主要是通过几何课进行训练的，这显然不符合时代的要求。所以从教材内容的科学化，教学观念的更新还都有不少有待于认真研究的问题。
三、关于计算机辅助数学教学的一些思考
在讨论数学教育改革的种种意见中，现代教育技术是备受关注的。美国数学教育界认为：“在众多促进数学教育改革的因素中，现代技术具有最大的潜在的革命性影响。”(《学校数学的改造：课程(改造)的哲学和框架》，英文版，第22页)而现代教育技术主要是指把计算机用于教育的技术，即计算机辅助教学，简称CAI。(computer aided instruction)
当前传统的数学教育面临巨大的困难。从教学内容看，几十年不变，内容陈旧；从教学方法看，大部分数学课堂没有摆脱以教师传授为主的注入式，数学课难以唤起学生的积极性；从教学对象看，数学教育并没有做到面向全体学生,真正的“因才施教”至今还难以实现；从教学目标看，决大部分精力还放在应付考试的单纯解题训练上，数学知识的形成过程被淹没了，数学与实际的生动联系不见了；从教学模式看，基本上还是教师讲学生听的“一刀切”的班级授课，学生被动学习的局面没有改变，缺少必要的“个别化”教学与学生彼此之间的交流，学生的课堂参与是极其有限的；从教学评估看，大部分是凭经验“摸着石头过河”，难于及时准确地了解教学信息，因而我们的教学策略难以保证有很强的针对性；从教学手段看，没有摆脱“粉笔加黑板”的束缚，计算与画图还是传统的手工方式，教师的工作基本上还属于个体的手工业劳动。数学不仅是学生的沉重负担，也是教师的沉重负担，综上所述，传统的数学教育在喘息，陈旧的内容，陈旧的方法，陈旧的观念，缺乏生气的课堂，事倍功半的效果，传统教学似乎使出了全身的气力，却仍不能满足数学化时代的需求。
人们认为：把计算机引入教育将带来深刻而广泛的的影响，它不单会影响到教学内容的变化，而且将引发教学方法、教学模式、教学观念等等一系列的变革。人们看中了计算机能将文字、图形、动画和声音有机地编排在一切，从而激发学生的兴趣，增强学习的积极性；人们看中了计算机能给学生提供更多动手的机会，特别是计算机的人机交互功能，为实现教学的“个别化”创设了理想的环境。对数学教学而言，特别令人欣赏的是计算机的快速计算本领与绝妙的处理图形的能力，人们断定计算机将能迅速改变数学教学的面貌。然而从CAI兴起至今，人们期望看到的奇迹还没有发生，借助于计算机促进数学教学改革的进程相当艰难。
一个大问题是教学软件。市场上号称“电脑教师”的教育软件多半是课本搬家式的电子书或变换方式的习题集。这类教育软件使人们对CAI 产生了怀疑：“原来这就是CAI 呀!看来与其用这类软件还不如认真地看看书，更不如听有经验的教师讲课。”所谓“电脑教师”还是不如真正的教师，计算机还是难以进入课堂。于是教师只好亲自参与开发软件，由于教师远比一般的计算机工程师熟悉教学、了解学生心理，所以这类软件可以在教学中发挥一定作用。但问题又来了，那就是开发效率太低，一节课用的软件需要几十个小时开发，谁都难以长期坚持下来。加之每一个软件都体现了开发者的个性，在当前每一位教师都要在课堂上展现自己个性的情况下，教学软件难以推广。于是各地都在开发大都只在自己的教学中应用的属于自己的软件。面临以上困难，多数教师不愿做吃力不讨好的事，还是钟情于粉笔与黑板。同时，低水平的重复开发又引来对CAI的种种非议：用大量的人力物力搞CAI是否值得？在现时条件下CAI到底能给教学改革注入多大的活力？
在借助于CAI促进各学科的教学改革中，数学大概是最困难的学科，引起的争论也最大，首先是怎样激发学生的学习兴趣？借助于多媒体技术，英语、生物，地理等学科的教学软件可以做得图文并茂、有声有色，但数学却不能，因为数学是需要进行进行思维训练的，不仅依靠课件表面的生动难于激发学生持久的学习热情，而且也难于达到数学教学的目的。一个尖锐的问题是:在数学教学中引入CAI 是有助于学生的思考呢，还是相反？有些人担心过分依赖计算机将导致学生相应能力的萎缩。这种担心并不是杞人忧天，一些西方国家孩子当前数学能力的下降似乎与滥用计算机技术有关。事实上，现代数学技术的发展不仅使数字计算变得轻而易举，而且一个复杂的方程求解、一个方程曲线或函数图象的绘制，一个积分或矩阵的运算，都只需轻轻一按键盘，一切结果顷刻会在电脑屏幕上显示出来。这种“描述”数学结论式的数学对数学教育是巨大的挑战。它有助于概念的理解吗？有助于问题的求解吗？有助于学生数学能力的提高吗？甚至数学教育的必要与目的性都受到怀疑，学生会问：有了计算机还学数学干什么？教师会问：有了计算机数学还教什么？数学教育的本质究竟是什么？但是计算机的汹涌浪潮却势不可挡，谁也栏不住的。当计算机进入千家万户之后，连学生玩电脑游戏软件我们都看不住，谁又能禁止他利用数学软件完成数学作业呢？看来，既不能对计算机持反对态度，也不能对它持无可奈何的消极态度，积极的对策是更新观念，认真研究一下有了计算机教学内容、教学方法、教学模式应该有哪些变化，研究数学CAI的理论和原则，考虑在现代教育技术支持下什么是理想的数学教育。
讨论什么是理想的数学CAI，首先要讨论什么是理想的数学教学，要讨论计算机以外的因素。这就必须考虑数学的学科特点，考虑不同学生学习数学的心理特征，还要考虑数学技术飞速发展的未来社会对人的数学素质的需求，然后再回过来讨论CAI软件的设计思想与使用原则。这当然是一个复杂的问题，很难在一篇文章中讨论清楚。但我们以为至少以下原则是肯定的：
(1)启发性
启发性是数学教学的灵魂，因为归根结底数学是人类一种高度的精神活动。美国著名数学家柯朗 （R· Courant）在《数学是什么》一书中指出，“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志，缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要求是：逻辑和直观，分析和构造，一般性与个别性。虽然不同传统可以强调不同的侧面，然而这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成数学科学的生命、用途和繁高价值。”因而数学教学决不能只告诉学生现成的数学结论，或让他们死记公式定理法则。历史上，数学的每一步前进都是以数学家付出的艰难探索为代价的，有些成果甚至是上百年几代数学家心血的积累。今天要在很短的时间里让学生理解它们，不启发他们运用自己的智力认真思考怎么能行？在这个意义上讲，数学教师的责任在于再创造，在于提出深入浅出循循善诱的问题、设计最佳的教学情景与活动，让学生通过自己的思考去获得知识。
在传统教学中启发式谈了几十年，至今并没有很好的解决，现在在数学教学中引入CAI 情况又怎样呢？应该说大量死板的课本搬家式的软件使人担忧，如果说多数传统的数学课堂缺少启发式，那么这类软件就根本没有启发式。所谓讲解就是在屏幕上显示出有关的概念、定理、公式，不谈他们的来源和用场，不谈知识的内在联系和发展，更不谈最值得领悟的数学思想和方法。所谓练习就是在屏幕上显示出答案，有的甚至连必要的过程都没有，对于判断选择题或一类简单的填空题，计算机倒是有些交互功能，但反馈信息却谈不上任何启发性。试想：当学生答对时屏幕显示出“对了，你真聪明!”，当学生答错时屏幕显示“真遗憾，你没答对，请再加油想想。”人们这时对CAI 会怎么看呢？是否与传统教学相比，计算机更不利于表现启发式的教学呢？是否对表现以抽象与严谨为特征的数学，不是计算机的特长甚至是它的特短呢？
我们认为对数学CAI持如此悲观的看法是不必要的。实践表明，计算机在这方面不是无能为力而是大有潜力的。近年来我们在教学中引入《数列的极限》、《周期函数与周期函数的周期》、《正方体的截面》等教学软件，都较之传统教学更富于启发性。过去对这些传统教学的难点，教师常感到力不从心，而现在通过精心设计的数学CAI，教学更多成为学生自己思考探索的过程，计算机缩短了抽象严谨的数学与学生认知水平之间的距离。于是新的课题出现了。过去探讨如何在粉笔加黑板的班级教学条件下设计启发式的数学教学，现在则需要考虑如何在计算机技术的支持下设计出比传统教学更富于启发性的教学、
(2)针对性
有的放矢的教学对所有学科都是重要的，但对数学教学的重要性就尤其突出。由于数学知识的内部联系密切，环环相扣，系统性强，某一学习环节的障碍，往往造成下一阶段学习的困难，因而学生一旦在数学学习上掉队往往很难补上。数学学习心理学认为：数学学习并非一个被动的接收过程，而是学习者以自己原有的知识和经验为基础的主动建构过程。如此说来数学教学必须考虑每一个学习者原有的知识和经验，只有这样才谈得上教学的针对性，也才谈得上有意义的教学。
在传统教学中教学的针对性解决得如何呢？实践表明，当前在以教师为中心的班级授课的条件下，这个问题是难于解决的。由于教师在课堂上只能用统一的节奏，同样的策略，面对全班学生，更多地只能考虑共性，难于照顾个性。而每个学生原有的基础知识与经验不同、思维有快有慢，教师在课堂上不可能做到针对每一个学生。
在数学教学中引入CAI 情况有了一些变化。在我们的实践中，学生一人一机或两人一机利用教学软件学习，他们可以利用键盘或鼠标控制学习节奏，还能通过菜单选择他们需要的内容或帮助信息，这在一定程度上增强了教学的针对性。然而利用数学CAI 软件学习，教学针对性的问题并没有完全解决，并且在许多情况下电脑还不如教师。有经验的教师的最大的特长是能够随机应变因势利导，他可以提出恰当的问题及时了解学生的掌握程度，在得到学生的反馈信息之后，他们能马上变换教学策略，几句话讲到点子上，使学生茅塞顿开。教学软件要有针对性，就要求设计者必须设身处地地设想电脑在和学生面对面地交谈，学生看到电脑的每一屏他可能怎么想，下一步屏幕上又该显示怎样的具有启发性的文字或图象，这对软件设计的要求是很高的。所谓智能化的软件应该是能对不同的学生适时改变教学策略的软件，这样的软件或许可称得上是“电脑教师”了，遗憾的是当前市场上的“电脑教师”名不符实，至今还没有看到真正智能性的软件。其实要求教学软件具有和教师一样的灵活的智能性，本身就不现实。可以肯定，设计智能化的“电脑教师”要比设计与国际象棋大师对弈的“深兰”不知要困难多少个数量级。我们以为正确的思路是并非让计算机代替教师，而是充当教师的得力助手，这样计算机就大有可为了。例如能否考虑几种主要的学生类型，根据他们的不同学习心理设计针对性较强的教学软件；能否考虑把数学CAI与传统教学结合起来做到优势互补；能否考虑利用网络技术加强学与教的及 时交互等等。
3) 学生的主动参与程度
学生是学习的主体，数学学习中的概念理解与问题求解，哪一样也离不开学生的主动参与。然而在以教师为中心的传统课堂上，学生的参与是有限的。在数学研究中，数学家在“做”数学，在数学教学中，学生在听数学，这两者有本值的区别。美国的数学家对传统教学提出了疑问：“我们现在所教授的是我们正在做的那种数学吗？”讨论这个问题是有积极意义的。它不仅涉及到传统的传授数学知识的方式是否有效，是否能调动学生数学学习的主动性与积极性，还涉及到数学教学能否有助于建立学生正确的数学观并增强他们学习数学的自信心。我们认为现在数学课堂教学评价的一个误区是：衡量数学课的质量更多看中的是教师的表演，而不是学生自身的参与。
把CAI 引入数学课以后情况发生变化了吗？从目前的情况看，基本上没有变。大多数课堂上，计算机的作用只相当与一个放相机辅助教师讲解演示，计算机所特有的交互性没有发挥作用。学生还是看着大屏幕听教师讲，教师为中心的传统教学模式没有改变。值得注意的是现在各地正在投入大量的人力物力开发这类软件。比课本搬家式的软件略有进步的只是增加了一些动画，有的还插进教师讲课的片断，细想起来这类软件完全可以用录相片替代的。
看来数学教学软件的设计必须要考虑教学模式，计算机仅仅是帮助教师讲解演示呢，还是可以用来支持数学教学的个别化，或利于促进小组讨论式的协作学习？近年来我们进行了这方面的探索，开发了一些这样的软件，如“反三角函数的概念与性质”，“异面直线的概念”，“异面直线的角和距离”等等。学生可以利用软件一人一机或两人一机，边看屏幕、边敲键盘、还可以对照屏幕演算推导、阅读课本、相互讨论、向教师质疑。实践表明学生的主动性极大地增强了，这在一定程度上实现了由听数学到做数学的转变。但还有许多问题没有解决。例如怎样看待学生的参与。是否学生的参与只限于在计算机上作题，事实上学生在计算机上完成选择题与填空题是方便的，而完成解答题就很困难，姑且不谈证明题的思路设计，就是数学表达式的输入就存在严重的障碍。计算机并不利于学生的笔头及口头表达与相互交流，而这些利用传统教学的纸和黑板倒更方便，例如，课堂的集体讨论更容易创设口头交流的活跃气氛。那么学生的哪些活动适宜在计算机上进行，哪些宜于离开计算机？支持学生积极参与的软件又如何设计，如何使用？数学CAI与传统教学如何配合？再一个现实问题是开发教学软件的效率，能否利用现成的工具投入很少的时间同样能 组织学生积极参与的数学活动呢？只有这样广大教师才能够接受计算机，数学CAI也才能真正促进数学教学的改革。我们认为估价计算机对数学教改的作用，不应局限于一节课、一个课件，而应从整体出发进行教学设计。最近把“几何画板”及“mathcad”引入教学的实验给了我们很大的鼓舞，我们坚信计算机能带来数学教学模式的深刻变革，学生能够从被动接收的学习方式变成主动的发现和探索知识。
综上所述，计算机能给数学教改注入强劲的活力，但计算机技术不是关键的因素，起决定作用的还是教师，是信息时代数学教师的教育观念。实践呼唤理论，过去多年传统教学形成的的数学教学法，数学教育观显然不能圆满地解答现在涌现的许多新问题了，时代需要我们探索和发展数学教育的新理论。
四、对当前数学教改几个热点问题的意见
以下我们将探讨，在提供现代教育技术支持的条件下，当前数学教改的几个具体问题。它们是：1)计算机对几何教改的影响。2)计算机与数学概念教学。3)计算机与问题求解。4)计算机对教学模式的影响。
1) 计算机对几何教改的影响
几何多年来是教学的难点，也是数学教改的热点，核心是对欧几里得几何如何改造。这个问题牵动了许多数学家和数学教育家。“新”数运动中，作为布尔巴基学派领袖的法国数学家丢东涅(J. A. Dieudonne)曾提出“欧几里得”滚蛋的口号。而另一位著名数学家R. 托姆(R.Thom)则认为欧氏几何是把二维、三维空间的过程转述为书面语言的第一个例子；几何思维是人类理性活动的正常发展中不可省略的阶段。经过十多年，“新”数学运动失败了，它留给世人一连串深刻的思考和教训，其中重要的一条是：对欧几里得几何这份宝贵的历史遗产的改造要持慎重态度。
当前这场争论仍在继续。例如，在计算机飞速发展的今天，计算机不仅能快速的进行计算，还能进行机器证明。于是一些数学家包括最著名的数学家提出：几何教改的方向就是几何的代数化、几何证明的机械化。另一些数学家其中也包括最著名的数学家则对此表示了担心。英国数学家M. 阿蒂亚(M. Atiyah)认为几何直观是增进数学理解力的有效途径.，欧氏几何在学校的衰落是件不幸的事。我国数学家丁石孙教授认为。“由希腊人开创的几何永远是教育中训练思维的最好工具”。于是，“几何教改向何处去？”真成了难题。。一方面欧氏几何是珍贵遗产，另一方面又成为一个沉重的负担。要妥善地改造几何，就需要认真考虑几何的特点，几何在数学教育中的作用，学生学习几何感到困难的原因，特别是有了计算机几何教改可能有怎样的新思路。
M. 阿蒂亚(M. Atiyah)在“什么是几何”一文中是这样谈论几何的：“几何在希腊人手中成为数学的第一个分支并趋于成熟，这件事绝非偶然。究其基本原因，几何乃是最少抽象性的数学形式，它在日常生活中有直接的应用；而且不需花费太多的智力就能理解它。”“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位。”在几何中直观和抽象是两个不同的侧面，而这两个侧面联系的又如此紧密。尽管几何中没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面是十分抽象的“理想”世界的“理想”事物，但借助与视觉思维和生活经验并不妨碍人们理解它。在几何中人们抽象出的数学概念是相当多的，如平行线、相交线、垂直线、角、余角、补角、三角形、全等形、相似形、……，可以说人们在几何中抽象出的概念比代数多得多，然而这些概念的抽象都是以直观的图形为背景。变得不难理解，这是与代数的最大区别。或许正是由于这个原因，希腊人才从几何开始把注意力集中于对事物基本属性的准确把握，感受到数学抽象的巨大威力。数学也才从几何开始上升为一门系统的科学。
除开图形的直观性之外，系统化的演绎推理是几何的另一特征。欧几里得总结了前人的成果，从不多的几条精心选择的公理出发，推导出来一系列定理 (竟达近500条)。人们第一次从几何中看到逻辑的力量，人们理性思维的力量。通过概念的抽象化，再结合演绎推理，数学作为人类高度精神活动的实质被凸现出来了，从此数学成为一种哲学，影响了人类几千年的发展。
在分析了几何的特点之后，几何在数学教育中的作用就清楚了。数学不是作为一种教条让学生死记硬背就行了，数学也不是作为一项技能让学生反复练习就可以了。归根结底，数学教育应该提高人的思维能力，如此说来几何怎么能够大刀阔斧的砍掉呢？几何不应被看做是过时的老古董，只是由于它难学就采取枪毙的做法。事实上，几何是一种思维方式，这种思维方式的训练对于智力发展可能受到高技术负面影响的新的一代是必不可少的。
让学生在几何教学中受到良好的思维训练，就要减少他们学习的困难，并激发他们的学习兴趣。这是否有可能呢？我们认为有必要反思我们的教学。
上面谈到，“几何乃是最少抽象性的数学形式，它在日常生活中有直接的应用；而且不需花费太多的智力就能理解它。”为什么不少学生感到几何难学呢？恐怕原因之一是从直观到抽象这个环节出了问题。几何又是用一大套定义、公理、定理精心编织的体系，而这些定义、公理、定理是用严谨抽象的语言表达的。多年来几何教学让学生背定义、背定理，而缺乏足够的几何图形作为抽象概念的基础。不少学生对所背的内容并不理解，他们当然感到枯燥困难。不少学生被迫记忆的是没有意义的单词组合。有些被歪曲地误解了，有些则似是而非。如对垂直关系许多学生只认识水平位置与竖直向下的直线，等腰三角形的顶角必须处于‘上面’的位置，直角三角形、圆周角也被学生顽固地放到特定位置。这表明学生并没有全面正确的抽象出概念，他们没有抓住事物最本质的属性。 另一个原因是片面强调逻辑思维训练，忽视了观察、实验、想象、猜测等方面能力的培养，于是本来生动、机智、充满创造力的整个数学思维过程不见了。教师经常代替学生思维的结果导致学生懒于思考并怀疑自己的智力。
在分析了学生学习几何困难的原因之后，我们指出计算机能够帮我们一些忙，教育技术能极大地开阔几何教改的思路，创造出传统教学不可能实现的奇迹。
首先谈谈动态的图形。利用计算机技术我们只需一两分钟就能画出动态的三角形、动态的特殊三角形、动态的互相垂直的直线、动态的圆周角等等。这给几何教学带来了转机。让图形说话!过去许多用口头用语言难以讲清楚的概念，现在一看图形就完全明白了。需要时只需轻轻一按鼠标将动态图形定格，就能得到变式图形，这为学生抽象出准确的概念提供了丰富的素材。再谈测算，过去必须用刻度尺与量角器进行度量，现在利用计算机能对线段、角度。面积等我们感兴趣的几何量(包括动态图形的几何量)进行及时的度量和计算。于是许多图形的几何性质，某些条件对图形性质的影响可以让学生自己去发现了。利用鼠标还能托动图形或其中的一部分平移、旋转或缩放，这不仅便于更深刻认识图形，还能直观地显示运动变换等数学思想。计算机还能顷刻隐藏或显示图形的某一部分，这使得图形的分解与综合都可以在学生眼前出现。通过多窗口显示能将几个图形加以对比或把某图形的一部分局部放大。通过菜单能随心所欲地切入画面、文字、声音，这使我们借助于计算机可以创设出最佳的教学情景。所有教过几何的教师面对计算机提供的上述帮助都会兴奋不已，当几何教改进退两难之时，教育技术无疑带来了希望的曙光。看来欧氏几何这一珍 贵的遗产，不一定非成为沉重的包袱。
近来我们数学CAI课题组引入了“几何画板”，初步的反映表明：几何能成为最受学生欢迎的课程之一。计算机对几何教改的影响是深远的，它的确能改变学生对学习几何的态度和方法，提高他们对几何的认识能力。那么在教育技术的支持下几何教改的出路何在呢？我们的意见是不一定非要对欧氏几何动大手术。它的公理法还是有必要让学生知道的。几何是训练学生形象思维与逻辑思维能力的极好材料，但不应把几何课当成纯粹的思维训练课，而应密切它与实际的联系，引导学生用几何。应充分发挥计算机的优势用丰富的图形减少学生学习几何的困难、激发他们学习的兴趣，尽可能让学生亲自动手“做”几何。
顺便提一下解析几何与立体几何。在传统的解析几何教学中，形数的结合不好表现，曲线作为动点运动的轨迹只能依靠想象，现在不同了。利用计算机可以测算出平面内任一点的直角坐标和极坐标，当用鼠标托动点运动时动点的坐标的变化能及时显示，可以通过动画生动地表现曲线作为动点的轨迹的形成过程，这无异将极大改善解析几何的教学现状。至于立体几何，传统教学的最大困难是培养学生的空间想象力。几年来我们的实践表明，计算机同样可以发挥它的积极作用。截面问题，折叠问题、侧面展开、从不同的角度观察图形，空间图形的分解与组合……这些传统教学的困难，现在通过计算机得到了圆满的解决。总之，计算机对几何教改有着深藏的巨大潜力，在教育技术的支持下，21世纪的几何教学似乎将有一个巨大的变革。
2)计算机与数学概念教学
在数学教学中，概念教学是重要的，也是困难的。经验表明，让学生理解某一数学概念有时要比教他们学会一个具体的解题技巧不知困难多少倍。有些内容，例如函数概念、数列极限的“
-N”定义，一直是数学教学中传统的难点。学生学过函数概念之后多数并不理解符号“f”的意义，学生学过极限定义之后有种听天书之感。这促使我们探讨概念教学的改革及计算机在其中所能发挥的作用。
应该看到，造成概念教学困难的原因是多方面的。首先是对它的重视程度不够。当前在应试教育的体制下，对解题教学的重视远远超过概念教学，用于解题训练的时间与精力远远多于对数学概念形成过程的剖析。实际上，后者涉及到数学的本质，本应给予更多的研究。
数学概念离不开抽象思维及严谨的数学语言表述，而抽象与严谨正是学生疏远数学的原因。计算机的可视化技术能对几何教学提供生动直观的图形，这容易为人们认可，然而这又使人们认为计算机所能表现的仅仅是“描述”式的数学，对于表现需要深层思考的数学概念，计算机恐怕是无能为力的。近年来我们的实践消除了这种怀疑，教学软件“数列的极限”在连续三届学生使用的效果表明，计算机可以缩短数学与学生的距离，有助于学生理解抽象的数学概念。计算机辅助数学概念教学的效果是传统教学不可比拟的。究其原因，并非计算机本身具有这种教学才能，而是在计算机的支持下教师可以进行比原来更有效的教学设计。
对概念教学进行设计，必须对数学概念的形成过程进行历史的和学习心理的考察。数学概念的抽象其实是相当困难的，有些甚至经历成百上千年的漫长过程。以函数为例，尽管从伽里略的著作里已经看到朴素的函数思想，尽管1673年“函数”概念就由莱布尼茨首次提出，但今天学生们在教科书中学到的定义却是经过包括达朗贝尔、欧拉、柯西、狄里黑里(Dirichlet)等几代数学家不断演化的结果。函数概念的内涵经过了几代人的努力才被凸现出来! 以极限概念为例，也包含着人类长期对“无限”过程的艰苦思考。在古代，人们早已有了关于极限的朴素思想，但极限定义的严格的形式化的语言表述却直到19世纪才最后形成，那是给分析注入严密性的产物。现在想来，学生在从教师或课本中接受这些数学概念时感到迷惑不解是太正常了!原因是思维的成果不经自己头脑的消化是不可能吸收的。学生固然无需完全重复先前人们抽象这些概念的思维过程，但重新经历其中某些重要的过程却必不可少，当前学生缺乏的恰恰是必要的抽象概念的思维过程。
对概念学习进行心理分析是教学设计的另一个根据。著名心理学家皮亚杰提出：“如果认识了一个概念的心理学基础，这就意味着从认识论上理解了这个概念”。从这个意义上讲，数学概念的抽象需要坚实的实验。与物理、化学、生物等学科不同，数学实验的对象不是物质材料而是思想材料。在自然界中本没有数、代数式、方程、函数、极限等物质，只是由于有了人及人的活动，这些作为人对自然界的概括与认识，才成为数学研究的对象。教育心理学认为数学知识是建立在人对自身活动，运算过程的反省抽象的基础上。因此数学概念的象起源于学习与研究者的活动与运算，而数学的形式化是运算思维的必然结果。对学生来说，他的数学概念是在个别活动中构造出来的。是他在活动中根据自身的经验对知识的重组。皮亚杰把这种过程称为“建构”。经过以上分析，我们或许可以找出传统的概念教学的缺陷，并找到利于计算机辅助概念教学的策略。
传统教学在讲授概念时一个难以克服的困难是缺乏学生足够的活动与实验，教师往往用自己的演讲代替了学生自身的“建构”过程。在课堂上提供的思维材料十分贫乏。利用计算机恰恰可以弥补这个缺陷，计算机能够提供理想的数学实验室，能够满足学生个别活动与小组讨论的要求，也便于创设富于启发性的教学情景。所以计算机在改进数学概念教学方面有着巨大的潜力。
下面以数列的极限概念为例谈谈我们的教学设计。
首先我们从“一尺之棰，日取其半”谈起，问如此组成的数列随时间的推移将怎样变化？屏幕上此时生动地显示出一尺之棰按日取其半的规律随时间变化的情况。这比课堂上原来只是口头讲授更能激发学生的思考。随后我们先后在屏幕上给出了数列前几项的数值、在数轴上以及在直角坐标系中表示数列前几项的点动态地趋向极限的图示。学生从以上创设的情景中完全能够理解此无穷数列变化的趋势是无限制地接近一个常数。这时我们在屏幕上以表格、数轴、直角坐标系为背景，给出了关于数列极限概念的说明：“粗略地说：如果一个无穷数列a
变到后来无限制地接近某一个常数A，就说这个数列的极限是常数A”。下面我们给出几个具体的无穷数列，让学生猜出它的极限。屏幕不单给出数列的前几项的数值，用数轴和直角坐标系给出表示数列前几项的点，而且为学生提供了实验的环境。学生可以键入任意大的n的数值，计算机则马上显示相应的数列a
的数值。过去教师的讲解现在变成学生的实验活动，实践表明每个学生通过实验都能猜出该数列的极限，这为数列极限的形式化定义打下了坚实的基础。我们还设计了一个选择题
还是 
？学生可以通过按键自由选择，对每种选择答案我们都在屏幕上给了详尽的分析解答。以上的所有教学设计基于这样一个指导思想：让学生通过参与实验与运算而不是听教师讲授自己领悟数列极限的概念，从感知到了解再过渡到形式化的定义。
对极限的形式化定义我们精心设计了逐次精确化的过程。数列极限的“ -N”定义，或许是中学阶段学生最难接受的定义了。学生第一次遇到语句如此长的数学定义，加上其中包括那么多的数学符号
：a 、A、n、N、 ，要让学生理解它，必须从学生可接收的粗略的描述极限的语言出发过渡到十分形式化的“
-N”定义。为此，我们在电脑屏幕上设计了如下的情景。在“如果一个无穷数列a
变到后来无限制地接近某一个常数A，就说这个数列的极限是常数A”这句话的下面动画式地依次显示：1)
a 接近某一个常数A；2) a 
无限制地接近某一个常数A；3) a 变到后来无限制地接近某一个常数A。接着又在这三句话的后面依次显示：1)
是一个很小的正数；2) ) 
能够要多小有多小，即对无论多小的正数 不等式 < 能够成立；3)对于预先给定的无论多小的正数 ，只需取足够远的项N，那么它以后所有的项都满足 < .稍后以此为背景我们开出一个窗口显示出数列极限的“ -N”定义。在此之后我们还通过具体例子用图表显示 的值；用模拟的放大镜在数轴上显示表示数列的点动态地趋向其极限的情况；为帮助学生理解
-N 为学生创设了自由探试的环境：让学生自由地键入 ，屏幕则显示相应的一个N及后面的五项的值和这些项与极限的误差。通过反复实验，原来难懂的极限的“
-N”定义，现在变得十分容易理解了。
这个软件的使用效果给我们的启发是深刻的。它说明计算机能够改善数学概念的教学，可以利于计算机进行比传统教学更加优化的教学设计，而教学软件设计的关键却不是计算机本身而是教师的教学观。先进的教学理论、丰富的教学经验与计算机技术的结合能够产生最佳的教学效果。当然开发这类软件是很费气力的，不可能所有的教师都有条件自己开发教学软件。事实上可以借助于如“mathcad”、“mathematica”这类现成的软件组织学生进行数学实验，这对帮助学生领悟数学概念肯定是有意义的。
3)计算机与问题求解
1997年，一场人机大战引起世人的瞩目，这就是由IBM公司设计的超级电脑“深蓝”和称霸国际棋坛十二载的世界棋王卡斯帕罗夫的对弈。较量的结果，“深蓝”以二胜一负三平的总成绩赢得了胜利。现在这场人机智慧大战已偃旗息鼓，但却给世人留下了一系列深刻的启示。围绕这场比赛的热烈讨论仍在继续。“计算机在和人类的智慧挑战”，这将对世界的未来将产生何种影响？
其实“深蓝”作为下棋的专家，它的智慧与经验是人赋予的，是人使电脑有了人工智能，因此“深蓝”的胜利实际上是人脑的胜利。由此我们自然可以问：能否把人类解题的经验和智慧赋予电脑，使它成为解题专家呢？进一步，能否再加上教师丰富的教学经验，使它成为教学专家呢？
对前一个问题，近年来的研究成果表明，已经可以利用计算机证明任何一个几何题，也可以用计算机解任何一个一元一次方程的应用题。让计算机能解天下任何问题是不可能的，让计算机能解某一类问题，成为解这一类问题的专家如今却已经成为现实。这本身对数学教学有很大的意义，因为数学教学不可能教学生解天下所有问题的方法，那种方法是不存在的。数学教学也不关心只对极特殊问题有效的奇着妙法,那种方法意义不大。数学教学最关心的是那些最有广泛性的具有典型意义的常规常法，认为这无论对学生当前的教育意义，还是对他们的未来发展都是重要的。令人振奋的是现在已经可以把解某一类问题的经验和智慧赋予计算机。
对后一个问题，现在提出来似乎还为时过早。是否可以改个提法，那就是充分发挥计算机在解题教学中的积极作用。今天，让计算机成为这方面的教学专家虽不现实，然而让计算机充当教师的助手，在数学教学及家庭辅导中发挥一定的作用，却是迫切需要研究的问题。一方面，我们课堂的解题教学并不总是很成功的；另一方面，电脑虽然已经进入家庭，却没有充分发挥其教育功能。计算机辅助教学和传统教学之间本来有很多是可以相互借鉴的。总结解题的思维规律，整理多年来教师群体在解题教学的丰富经验，对两者都是必要的。
为什么我们说传统的解题教学并不总是成功的呢？一个重要问题就是解题的思维过程显示地不够充分。对每一个学习个体，又不可能实现及时的教学反馈。例如选择题，这或许是传统教学中最不成功的。选择题题型覆盖面广，考试能采取机器阅卷，不仅公平而且效率高，因而被广泛使用。但在教学中，它的最大问题是解这种题不要求过程，一次练习下来或千篇一律的答案（由于作弊〕而失去练习的意义，或五花八门的答案既不便于统计也不便于讲评。所以当前的教学中，师生在这方面往往作无用功，得不到预期的效果。实践表明，计算机最容易在这里发挥优势。远不需复杂的编程，就可以把教师对每个学生的不同选择答案需要作出的教学反馈装在计算机里，选择过程的不同思维过程尽可以在这里得到展现，还可以对个体或全班及时作出统计和评估。其实，计算机干这种事是很在行的。于是计算机成了教师欢迎的得力助手，能代替教师不少重复性劳动。在我们的教学中，这种形式的计算机辅助教学受到各种程度学生的欢迎，他们从教学的个别化中能及时得到详尽的帮助，过去 对选择题往往“只知其然而不知其所以然”，现在则从各种似是而非或似非而是的答案的选择过程中加深了对问题的理解。
对于解答题，传统教学存在的一个弊病是对“解题术”给予的重视太多，而对问题求解的思维过程重视得不够，不是作为生动活泼的思维训练去教，而是作为对教师总结出的“现成的”套路去强化训练。在课堂上，玻利亚的问题解决方式并不多见。由于课堂时间不允许，加上学生的程度各异，特别是对审题，设计解题思路，反思几个环节，给予的重视不足。现在我们利用计算机把玻利亚的问题解决方式溶入其中，学生可通过菜单从提示，分析，解答，回顾几个不同的层次得到帮助，解题的思维过程展现的更清晰了。过去课堂上教师只能用一个声调对全体同学讲题，现在教师可以同时对程度各异的同学以不同的方式进行启发。教师的讲授更多为学生自己的活动所替代，教师只在必要时才提供帮助。当然，计算机总不能象真正的教师那样灵活，那样富于创造性，能够随机应变因势利导，又高度负责充满热情，然而把教师的经验与智慧溶入电脑总是有很大意义的。因为尽管教师在从事创造性的劳动，但总有相当一部分是重复性的工作，而这一部分可以考虑交给计算机。计算机永远不会成为有高度事业心和责任感的教师，但溶入教师丰富经验的计算机肯定能充当教师的不知疲倦的助手。
传统教学另一个最大缺陷是对应用题及开放探索性问题的忽视，连续几年高考都暴露出这一部分是学生掌握最差的内容。我们指出，计算机对改善这种状况也能起一定的作用。例如应用题，由于数据不整齐，计算量较大，传统课堂难于处理。现在有了mathcad及mathematica这类数学软件，数学教学有可能把主要注意力集中在如何把实际问题转化为数学问题，至于冗长的数值计算与符号演算可在计算机上快速完成。这对处理应用题是极大的帮助。
关于开放探索性问题，需要提供一个便于学生探试的环境，有时又需要创设富于启发性的问题情景。有了计算机情况就和传统教学大不一样了。提出同一个问题：“顺次连接四边形各边中点围成什么图形？”在计算机屏幕上显示的效果就比过去灵活的多。在“几何画板”的支持下，可以在屏幕上给出一个动态的四边形，它在运动的过程中忽而是凸四边形，忽而是凹四边形；四边中点连线组成的四边形也是不断变化的，可能是一般的平行四边形，也可能是特殊的平行四边形。在这种情景下我们可以给学生更多的思考空间，因为问题可以是非常开放的，我们可以引导学生探究怎样的条件将导致何种结论。又如正方体的截面问题，在屏幕上我们问：“设想一把无比锋利的刀，猛地朝一个正方体形的物体砍下去，截面是什么图形？”给学生留出猜测的时间之后，计算机可以用不同的速度对此给出动态模拟的图景，显示出不同形状的截面，并由此引发出一系列能激发学生兴趣的有关截面的问题。
从以上叙述人们不难看到，计算机能给数学教学注入旺盛的活力，它正在以下一些方面改变着解题教学的现状。1〕突出学生在解题过程中的主体地位；2〕能对不同程度的学生提供不同程度的问题；3〕可以对所有学生同时提供各自需要的帮助；4〕为解决来自实际的问题扫清了冗长繁杂计算的障碍；5〕可以创设更具吸引力的数学问题情景；6〕提供了理想的探试问题求解的环境；7〕把教师群体的智慧与经验转化为一种可重复使用的教学资源；8〕把教师从低效的重复性劳动中解脱出来，而吸引他们从事更富于创造性的教学工作。展望未来，我们深信随着网络技术的发展能给问题解决以更多网上交流的机会，“教学专家”将发挥更大的作用；随着“人工智能”技术的发展，电脑将更加“聪明”，问题求解过程的人机交互将更加灵活；随着虚拟现实技术的发展，数学问题将更加密切与现实的联系，数学问题将更能激发学生的学习动机。谁都承认问题求解依赖于数学思维，但对人脑在进行数学思维时的活动机制现在还停留在猜想阶段。随着“人工智能”的深入研究，需要对数学解题思维过程的经验与规律进行总结，这反过来将促进数学教学的改革。
4)计算机对教学模式的影响
现行的班级授课的教学模式是工业社会初期形成的，现在我们讨论计算机对教学模式能产生怎样的影响。先举两个教学实例。
例1 三角形相似的判定。这是我们课题组一位青年教师的数学实验课。学校是学生来源较差的普通校。课程在每人一机的计算机教室进行。
上课前，教师发给学生需要在课堂填写的数学实验报告。上面有实验课题、实验目的、实验步骤、结论、练习与作业。开始，教师在与计算机相连的电视屏幕上演示了几种动态的相似三角形，提问：“谁能说出什么是相似三角形？两个三角形一旦相似就具有什么性质？”在学生回答出相似三角形定义，以及相似三角形的对应角相等对应边成比例以后，教师问道：“那么判定两个三角形相似需要几个条件、什么条件？”然后教师讲，这就是今天我们需要通过在“几何画板”上进行实验研究的问题。教师详细交代了实验步骤、实验的注意事项以及实验报告的填法之后，课堂的大部分时间由学生在计算机上动手实验。首先学生被要求作△ABC与△DEF,接着学生按实验报告中的要求测算∠A与∠D的度数、用鼠标调整角使这两个角相等并观察这两个三角形是否相似，以后又测算出两个角的度数并调整角使之相等。在学生观察出此时两个三角形相似之后，他们又按实验步骤的要求测算各边的长并验证对应边是否成比例。与传统课堂不同，所有的学生都全神贯注地进行实验、观察，之后填写实验报告。学生们在实验后进行交流，所有同学都能用数学符号及文字语言表达他们得到的结论。教师在组织了大家的交流之后及时对表现好的学生进行了表扬，并 要求学生用当堂得到的结果画两个相似三角形。学生对这项任务非常积极，当堂有好几位同学用不同的方法画出了不同位置的相似三角形。
这节课的一个突出特点是：学生的学习方式变了，他们不再象过去一样听教师讲“现成”的几何，而是通过活动自己获取知识。“问题情景--数学实验--课堂交流--课堂操作与练习”代替了过去的“听讲--笔记--练习”。课堂教学的模式由于引进计算机发生了很大的变化。学生的主动性与积极性得到了发挥，几何经过从学生的经验上升为理性思考的过程变得有趣多了。
例2曲线的极坐标方程的教学。
我们用”“mathtool”开发了一个满足整个单元教学需要的教学软件。这其中有概念讲解、例题解析以及一定数量的练习题，其中也为学生创设了数学实验的环境。学生可自由地探试离心率e对圆锥曲线的影响，还可探究极坐标曲线
中n对曲线形状的影响。这是课本上一个习题的引申。
课本原来的习题是这样的：“一条长度为2的线段AB，端点在坐标轴上运动，从原点O引AB的垂线，垂足为M，求M点的轨迹。”我们先在屏幕上给出了问题的动态演示，接着启发学生一步步得到曲线的极坐标方程
,再分段描出方程表示的四叶玫瑰线。之后我们又在屏幕上显示了三叶玫瑰线、八叶玫瑰线、……。这时屏幕上显示出“多么美丽的花瓣！你知道花瓣的瓣数与方程
中的参数n有怎样的关系吗？”接着，屏幕上出现了一个供学生实验的环境，学生在自由地键入了几个n的值以后，不同瓣数的美丽的花瓣顿时出现在屏幕上。学生这时惊喜极了，这是他们在传统教学中不可能见到的，所有学生都能根据参数n的奇偶性总结出n与花瓣瓣数的影响。但当学生键入
n= 0.1、0.2等值时，连教师都没见过的图景出现了，这里有根本不是花瓣的螺线、有非均匀分布的两两一组的花瓣、……数学实验给人留下深刻的印象和一个遐想的空间，“为什么会是这样子呢？”
以上两个例子说明计算机能为数学教学开创一个过去不敢想象的“数学实验室”，为数学教学模式的改革开拓了思路。引进数学实验以后，数学教学是否可以创设一种新的模式，即“问题検笛闂交流椓废皸回顾”。这种模式或许能改变学生学习数学的方式，减少他们学习数学的困难。
首先，学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学。过去被动地接收“现成”的数学知识，而现在象“研究者”一样去发现探索知识。实践表明，通过实验，学生对有关知识的印象比过去死记硬背要深刻得多。同时由于学生通过实验、观察、猜想、验证、归纳、表述等活动，他们不仅形成对数学新的理解，而且学习能力得到了提高。
其次，数学实验缩短了学生和数学之间的距离，数学变得可爱亲近了。人们普遍认为数学之所以难学，是因为数学的“抽象性与“严谨性”，而这正是数学的优势。正由于数学的抽象性，它才能高度概括事物的本质，也才能在广泛的领域得到应用。正由于数学语言和推理的严谨，不管自然科学还是社会科学，当从定性研究进入定量研究时都求助于数学。那么数学就非得板起严肃的面孔，使人敬而远之吗？数学就不能深入浅出，使一般人容易理解吗？现在计算机创设的数学实验似乎开辟了这样一条新路。通过“问题情景検笛闂相互交流”这种新的学习模式，学生可以理解问题的来龙去脉，它的发现及完善过程，从感觉到理解，从意会到表述，从具体到抽象，从说明到证明。一切都是在他眼前发生的，抽象得易于理解，严谨得合情合理，
当然数学并非一切都要通过学生亲自实验，有的可以通过演绎推导，有的还是通过听教师讲解才领会更深。哪些适宜学生自己上机实验，哪些只需看教师的演示实验就可以了，哪些根本无需实验，这需要认真研究。但现在普遍存在的问题是：许多事实都是教师“讲”出来的，有的连教师自己都没有经过必要的实验，可以设想学生怎么能接收这些强加给他的结论呢？譬如幂函数
的图象，就缺少必要的实验，这在过去由于工具的限制很难办到。现在不同了，借助mathcad、mathematica等软件，可以在一个窗口键入不同的参数对比观察图象的异同，也可以通过动画观察参数变化对图象的影响，其效果真是妙不可言！问题是现在许多教师还不甚了解计算机的魅力。
引入数学实验并不等于削弱教师的主导作用。教与学的关系还是那句老话：学生是主体，教师是主导。所以光提数学实验是不够的，还必需要强调“交流”，在实验基础上的交流。最终学生要从感性认识到达理性认识，从理解到应用，这就必需把数学作为语言符号化的存储在自己的大脑中。因此“口头”与“笔头”的表达与交流必不可少。我们不同意“现在是告别黑板粉笔的时候了”的提法，不同意不用文字课本、不用纸笔只敲电脑键盘学数学的作法。在交流的过程中，容易组织起不同意见的讨论甚至争辩，教师也可以利用这个机会启发诱导。教师对问题的深刻阐述、机智的解题策略设计、对学生规律性错误的分析、对数学美的诠释都是宝贵的，这些并没有被数学实验所取代，但只是在交流中这些才成为学生的需要，也才能在数学教学中发挥作用。在这种教学模式里，实验与交流的完美结合突现了数学知识形成的完整过程，这里既有教学的个别化、小组的相互促进协作学习，又能利用全班集体环境的优势。在这个模式中,从实验到交流的各个环节，教师的主导作用都是十分突出的，只不过对教师提出了更高的要求。因为过去一切可以按事先自己准备的讲就可以了，而现在则需要组织起有效的吸引学生的数学活动。我们的教学实践中，教 师开始常常抓不着上课的感觉，但实践表明，教学模式的改革跨出这一步，数学教学就出现一种前所未有的生动活泼的新气象。
当然练习对于学好数学、巩固和应用数学知识同样是绝不可少的。一个开放性的题库便于教师灵活组织最适合学生当前水平的练习，能极大地提高工作效率，使教育资源做到可重复使用。教育技术可以实现对学生练习的及时反馈与科学评估，更好地发挥每一次练习的作用。回顾则要求学生在学过一个段落之后对所学知识点、所用的数学思想方法进行反思与总结。我们设想如果学生的数学学习经历了这样一个过程，他不仅学到了相关的数学知识，而且学到了学习数学的方法。
顺便指出，这里谈到的数学实验并非所有课堂都采取这个模式，可以从整个单元出发进行教学设计，有些课用于实验，有些课用于交流及练习。另外，也不是说用这种模式整个代替传统模式，所有数学课都用计算机上。一来没有那么多计算机，二来从数学教学的需要看，有时即使轻轻一按键盘结果就能显示出来，我们也还是让他们避开计算机（例如某些基本的计算技能训练、证明格式的培养〕为好。然而计算机进入数学教育的大趋势是不可逆转的，它必然对数学教学模式产生深刻的影响。这里设想的“问题検笛闂交流椓废皸回顾”的数学教学模式能否把现代教育思想、传统教学的丰富经验以及先进的教育技术完美的结合起来呢？是否适合数学教学的学科特点呢？对此我们正在进行教学实验，并在实践中不断总结经验，提高认识。
结束语
在就要结束本文时，我们要强调指出：无论教育技术怎样发展，数学教师都是不可替代的。不过教师在教学过程中的角色在变化，工作方式在变化。他从知识的传授者变成学生学习活动的组织者与教学情景的设计师。他从个体的手工业劳动者变成信息社会教师团队中的一员。大量的重复性工作将被更富创造性的劳动所替代。他将更方便地利用信息技术提供的教育资源，同时他又需要在此基础上进行再创造。他不但需要掌握一定的现代教育技术，而且更需要有现代的教育观念，坚实的数学功底和精湛的教育艺术。总之现代教育技术对教师提出了更高的要求。一只高素质的数学教师队伍是21世纪对数学教育的最重要的需求。
最后我们感到，本文的题目“现代教育技术与数学教育”似乎太大了。我们为自己拟了这么个大题目，许多内容却谈不到家，有些问题蜻蜓点水一带而过，有些问题还未涉及。如信息社会中网络技术对数学教育的影响，信息社会中学校的数学教育、家庭教育和社会教育的关系，信息社会中数学教育网络的构成，数学教育资源的开发管理与使用等等。这的确是篇大文章。既是大文章就要由大家作，本文仅仅作为引起讨论的引玉之砖吧！
历史上产业革命曾把人类带进工业社会，今天的信息革命又要把人类引向何方呢？它对人们的生活、工作以及思维方式将产生怎样的影响？在未来社会中数学与数学教育将对社会及个人的发展起怎样的作用？如何在高技术的支持下改革数学教育，使之与现代社会的要求相适应？这些都是值得认真思考的问题。有一件事是意味深长的，那就是2000年这个历史性时刻被确定为“国际数学年”。这表明数学与数学教育对于未来的发展是多么重要。这是一次机遇，让我们把握住这个机遇！
参考文献：
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中国数学发展的若干主攻方向 P133～P159 程民德 主编 江苏教育出版社
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