第四节 最简二次根式

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二次根式化简的“误区”

　　在二次根式的化简中，常常出现一些似“是”而“非”的步骤和结论，这些“非”就形成了二次根式化简的一些“误区”，本文就二次根式化简容易出错的“误区”作些剖析，以求对同学们有所启发．

　　“误区”一 将分子、分母都乘以分母的有理化因式时，有些步骤的分母有可能为零，从而在解题步骤中出现错误．

　　

　　

　　


意义，因而造成解题步骤错误，此题正确解法应为：

　　“误区”二 不同条件下的结论混为一团，造成结果表达不准确的错误．

　　

　　

　　

　　“误区”三 化简的最后结果不是最简根式，造成化简不彻底的错误．

　　

　　

　　“误区”四 忽视隐含条件，造成符号错误．

　　

　　

　　

　　“误区”五 类比时出现错误．

　　

　　

　　

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怎样化简二次根式？

　　答：化简二次根式应遵循如下的两个原则。

　　(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，

　　

　　[例1] 化简下列二次根式：

　　

　　分析：如果被开方数是单项式且系数是整数(如第(1)题)，应把系数分解因数，由于96可以分解为48×2，32×3，24×4，16×2×3等多种形式，最好选择其中适当的完全平方数与其它质因数的乘积，如96=16×2×3，这样便于观察哪些因数可以开得尽方。

　　如果被开方数是多项式(如第(2)题)，应先把多项式分解因式，然后按照类似被开方数是单项式的方法进行化简。

　　如果被开方数是单项式且系数是小数(如第(3)题)，应把小数化成分数后再化简。

　　如果被开方数是单项式且系数是带分数(如第(4)题)，应把带分数化成假分数后再化简。

　　

　　(2)如果一个二次根式的被开方数中含有分母，必须化去根号内的分母，使被开方数的因数是整数，因式是整式。

　　[例2] 化简下列二次根式：

　　

　　

　　注意：分母系数是质数时，就用这个质数去乘分子和分母。

　　

　　注意：分母系数分解因数后不含有完全平方数，就用这个合数去乘分子和分母，如在化简本题的过程中，因30=2×3×5，所以就用30去乘分子和分母，还应注意把分母中字母的奇次幂化成偶次幂。

　　

　　注意：分母系数分解因数后既含有完全平方数，又含有非完全平方数，就用非完全平方因数的积去乘分子和分母。如在化简本题的过程中，应防止出现用54去乘分子和分母的典型错误。

　　

　　注意：在化去根号内分母的过程中，不可忽视分子的化简。