第一节 正数与负数　

对“+”、“－”号的再认识

云南省施甸一中 郭 凡

　　在初一代数教学中，有理数的符号问题，常常是困扰教师和学生的一个问题．正、负数的引入，是为了表示具有相反意义的量，它是以小学学过的数为基础的，教材中的说明也是这样：在小学学过的数前面加“＋”号就是正数(“＋”号可以省略)，加“－”号就是负数．这是初一学生第一次涉及正、负数概念．

　　紧接着讲有理数的运算时，“＋”、“－”号又变成了运算符号．有理数的加法法则可以说是一个符号法则．又如，减法运算法则是“减去一个数，等于加上这个数的相反数”．从这两种运算可以看出性质符号与运算符号是截然分开的．这样做，在有理数的加、减混合运算中，就出现了运算符号与性质符号共存．鉴于此，多年的教学活动中，我们是把“＋”、“－”号看成两类符号来要求学生牢记．一是讲正、负数时看成性质符号；二是讲有理数运算时看成运算符号与性质符号，并把二者区分得十分明确，互不相通．其结果，到学习“有理数加、减混合运算”时，为了得出正确答案，就需要辨别清楚谁是正、负号，谁是加、减号，这些众多的符号的处理，对大部分学生来说是很困难的一件事，从而成为这些学生的一个学习障碍．

　　笔者在多年的教学实践中，试图从不同途径寻求解决这两类符号在学生头脑中混乱的问题都未奏效．在九年义务教材的试教过程中，通过对比“相反数”与“有理数乘法”这两节的内容和相关的一些习题，得到了启发，认为上述两类符号是完全可以而且应当沟通的．

　　一、从“相反数”这一角度沟通

　　例1 (人教版代数第1册60页练习1)下列两对数中，哪对是相等的数？哪对互为相反数？

　　－(－8)与+(－8)；－(+8)与+(－8)．

　　教材中有明确的说明：“数a的相反数是－a”．这个说明完全可以理解为：在一个数前面加“－”号，就得到这个数的相反数．而一个数前面加“+”号，该是什么数？这从教材46页对正、负的解释，可以知道：在一个数前面加“＋”，就得到这个数本身，因此，通过练习可以归纳出结论：

　　1．在一个数前面加“＋”号，得到这个数本身；

　　2．在一个数前面加“－”号，得到这个数的相反数．

　　有了这个结论，在第二章第七节有理数的加减混合运算的教学中．首先是使学生明确加、减法最终统一成加法，加法运算中加号是可以省略的，然后指导学生直接运用上述两个结论．

　　

　　说明：①指导学生把上面的算式理解为是划线部分的五个数之和．

　　②用归纳出的结论简化算式．则

　　原式=－40－28＋19－24＋32，

　　③用运算律进一步处理，则

　　原式=－40－28－24＋19＋32，

　　④做两次“同号两数相加”，则

　　原式=－92＋51，

　　⑤做一次“异号两数相加”，则

　　原式=－41．

　　上述运算是把算式中的所有“＋”、“－”号看成是性质符号，运算统一看成加法．这样做的好处在于：避免了按减法法则先把减法变加法，然后再省略加号与括号的繁琐过程，降低了运算的难度．

　　二、从有理数乘法法则这一角度沟通

　　例3 (代数第一册习题2．8A组第4题)填空

　　(1)1×(－5)= ______；　(－1)×(－5)＝______；

　　+(－5)=______；　　－(－5)=______；

　　(2)1×a=______；　　(－1)×a=______．

　　这个题的目的有两个：一是复习“有理数的乘法法则”；二是让学生通过练习，得出这么一个结论“一个数同1相乘，得它本身，一个数同－1相乘，得它的相反数”．细致考察第(1)题，从处理一个数的符号的角度出发，我们完全可以得出结论：

　　1．一个数前面有“＋”号，则这个数与(＋1)相乘便是结果．

　　2．一个数前面有“－”号，则这个数与(－1)相乘便是结果．

　　用这两个结论来处理一个数前面的“＋”、“－”号有两个好处，一是有理数乘法法则是学生最容易记住的一个法则；二是为后面学习去括号，处理类似－2(n－3b)－3(1－2a)的式子时，采用把“－2”、“－3”分别去乘括号中的各项就得到去括号的结果的方法提供了依据．

　　综上所述，“＋”、“－”号在“有理数的加减混合运算”与“整式加减”中，可将它看成是性质符号，而式子的运算则统一理解成是加法，用上述两种沟通办法来处理符号，只需要求学生牢记“有理数加法法则”和“有理数乘法法则”．教学中，教给学生两种沟通的方法，以求达到能够熟练地进行这两种运算便是我们的教学目的．

　　

纪念笛卡儿诞生四百周年

　　列涅·笛卡儿（1596—1650）是法国伟大的数学家、哲学家、物理学家和生理学家。他于1596年3月31日出生于法国贵族家庭，后来受教于法国有名望的学校。1616年大学毕业后，做过律师，当过军人。他博览群书，有多方面的学识，善于收集、整理研究资料和总结、创新。

　　1617年，作为军人的笛卡儿随部队到了荷兰。一个休息日，他漫步街头，被一张荷兰文的招帖所吸引，经旁人翻译，得知是数学难题征求解答的广告。笛卡儿在几小时内解答了这则难题。这次的成功使他增长了对自己数学才能的信心，更加激发了对数学的兴趣和爱好。

　　1621年，笛卡儿离开了军队，到丹麦、荷兰、瑞士、意大利等地游历。1625年，在巴黎与旧友梅森、迈多治、笛沙格等经常集会或互通信札研究数学。1628年移居荷兰，潜心钻研哲学、数理。1629—1633年完成了重要著作《宇宙论》，1637年完成了重要哲学著作《方法论》，1641年发表了《形而上学的沉思》，1644年出版了《哲学原理》，1649年出版了《论心灵的各种感情》，同年应瑞典女王克利斯提娜的邀请，长住瑞典为女王讲课，不幸染上肺炎，于1650年2月11日逝世于斯德哥尔摩。

　　笛卡儿的哲学有唯心主义倾向，但他在物理学、数学、生理学方面的著作又带有唯物主义性质。

　　笛卡儿在1637年完成的《方法论》一书的全称是《更好地指导推理和导求科学真理的方法论》。这部哲学著作还包括三篇短论作为附录：《折光学》、《论流星》、《几何学》。在《几何学》中，笛卡儿引入了坐标方法，通过坐标系这个桥梁，建立了代数方程和曲线间的本质联系，将代数与几何联系在一起，创立了解析几何学。

　　在《几何学》中，笛卡儿用简单的分析表达式代替复杂的关系。他注重代数符号的处理。我们现在用拉丁字母表中前几个如a，b，c等表示已知数，后几个如x，y，z等表示未知数或变量，都起源于笛卡儿。我们现在常用的“待定系数法”等，也是由笛卡儿建立的。

　　最重要的，是笛卡儿在《几何学》中引入了“变数”。恩格斯说：“数学中的转折主要是由于笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学。”由于变数的引入，笛卡儿所创立的解析几何学就以由初等数学到高等数学的转折点而载入史册。笛卡儿的工作，为后来微积分的发现起着无可估量的作用。十七世纪以来数学的巨大发展，很大程度上应归功于这种把几何学的问题归结为代数形式的问题和通过代数学的方法解决几何学的问题，或赋以代数学的问题以几何意义的处理办法。笛卡儿开创了用一门学科理论的方法去探讨另一门学科的杂交法，从而使他成为西方近代科学方法论的鼻祖。

　　当然，如果要进行深入探讨，笛卡儿的哲学思想是有其局限性和不足之处的，但就他的《几何学》将变数引入数学，创立解析几何学而言，是伟大的贡献，是值得人们纪念的。