第四节 绝对值　

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绝对值中的数学思想

天津  肖泰来

　　绝对值的概念是中学数学中一个重要概念，它的应用十分广泛．因此我们在学习时，不仅应该深入理解概念，灵活运用，还应注意在应用过程中学会思想方法．

　　1．整体代换

　　例1若|a-2|＝2-a，求a的取值范围．

　　解 根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2．

　　2．数形结合

　　例2 已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．

　　解 分析这个题目的关键是确定a+c、b+c、a-b的符号，根据已知可在数轴上标出a、b、c的大致位置，如图所示：

　　很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0．

　　用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想．

　　3．分类

　　例3五个有理数a、b、c、d、e满足|abcde|＝-abcde，

　　

　　解 由题设条件知，abcde＜0，而 a、b、c、d、e满足abcde ＜ 0仅有三种情况：①二正三负；②四正一负；③五负．又因为对于任意非零有理数a，有

　　

　　4．特殊化

　　有些数学题目，直接解原题时感到难以入手，可以先考察它的某些简单特例，而后达到解决原题的目的，这种思考问题的过程，称为“特殊化”方法．

　　例4 已知a、b是有理数，且a·b＜0，试比较|a+b|，|a-b|，|a|+|b| ，||a|-|b||的大小．

　　解 根据已知a·b＜0，不妨取a＝1，b＝-1，这样有|a+b|＝0，|a-b|＝2，|a|+|b|＝2，||a|-|b||＝0，

　　∴|a+b|＝||a|-|b||＜|a-b|

　　＝|a|+|b|．

和初一同学谈谈怎样学好代数

湖北省钟祥市双河一中 周识贤

　　初一同学由学习算术进入学习代数，总觉得不适应．不少人还会产生困难，原因是什么呢？

　　1．中学的教学要求高了，小学阶段主要以培养运算能力为重点，而中学随着学生理解能力的提高，要逐步加强逻辑思维能力的训练与培养．

　　2．由于教学方法上的差异和学习环境的变化，不能迅速适应中学的教学秩序和教学规律

　　3．同算术相比，代数与算术在内容和方法上既有联系又有很大区别．

　　这些都是学习代数的不利因素，处理不好还会引起成绩“滑坡”．因此，要想比较自然地完成从小学到中学的过渡，应从三个方面去努力．

　　一、透彻理解新概念

　　比如学习有理数，首先遇到的是对一些新概念的理解．如相反数、绝对值等．

　　教材中说：“在一个数的前面添上‘－’号，就成为原数的相反数．”这里要认识两点：(1)互为相反数的含义；(2)添上负号的数就成为原数的相反数，但这个添上负号的数不一定就是负数．由此可知，一个数的相反数的相反数就是原数．

　　“绝对值”既是重点又是难点，学习时要充分予以重视．教材中对绝对值作了两次叙述：“一个数的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离”，“正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．”前段话表示了“绝对值”的几何意义，是说一个数的绝对值是“非负数”，也就是说绝对值具有“非负性”的特点；后段话是说求某数的绝对值所得到的结果和原数间的关系．从而告诉了我们求绝对值的方法．

　　这样，我们既理解了绝对值的含义，又掌握了绝对值的求法，学起来就不感到困难了．

　　例 求|＋3|，|－3.5|．

　　解 |＋3|=3；|－3.5|=－(－3.5)=3.5

　　二、以新带旧，新旧对比

　　初一代数从根本上来说，是要解决好有理数、式的计算．由小学的算术数扩充到有理数，这是认识的一次飞跃．因此，要注意新旧对比，找出它们的区别与联系．算术中的四则运算是学习有理数四则运算的基础；但代数又是算术的发展，它们是有区别的．例如，在算术中减法不是都能实施的，但在有理数中就可以；算术中两个数之和一定大于其中一个加数，但在有理数中结论就不一定成立；算术只限于对具体的已知数进行计算，不允许未知数参加运算，而在代数中，未知数和已知数有着同样的权利，都是运算对象．

　　三、经常看书复习，培养自学能力

　　读数学书要看、想、练相结合，对新概念要逐字逐句领会，对前后知识要加以比较，注意区别与联系，对公式、法则要熟记，反复练习运用，注意总结规律．一定要克服不肯看书，不会看书的现象．中学阶段越来越多的知识要通过自觉的预习和复习来掌握和巩固．

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