高中数学研究性学习案例分析

    研究性学习作为必修内容是普通高中新课程的一个亮点，倍受各方关注。本市2006年的春季、秋季高考都尝试把研究型的数学试题引进了试卷，取得了良好效果。然而，就目前高中数学教学的现状而言，研究性学习无疑是广大学生和教师面临的现实挑战,是一个内容资源亟待充实、教学方法亟待提高的弱项。进才中学张雪明结合自身教学实践，提出一些学习案例，期望能给读者一些参考。

　　背景与问题

　　在水平桌面上放一只内壁光滑的且近似抛物面形的玻璃水杯，取一些长短不一的细直金属棒随意丢入该水杯中,发现呈现如图所示的现象：

　　(1)猜想交汇点性质;

　　(2)结合猜想,根据物理学原理，对上述现象提出假说;

　　(3)将假说数学化;

　　(4)对假说的真假加以证明;

　　(5)自我评价以下探索过程.

　　现与探索

　　(1)焦点;

　　(2)假说：根据物体平衡的重心性质判断，当细棒长度不小于抛物线通径时，当且仅当细棒过抛物线焦点时它的中点到桌面距离最小；反之，当且仅当细棒平行于桌面时它的中点离桌面距离最小。

　　(3)数学化:已知抛物线方程是x2=2py,焦点是F，现有长度为定值a的抛物线的弦AB，AB中点为M。则当|AB|≥2p时，只要AB过F，M到x轴的距离最小；而当|AB|<2p时，只要AB与x轴平行，M到x轴的距离最小。

　　(4)证明：

　　方法一：如图，记A、B、M在准线上的射影分别是A1、B1、M1，因为总有|FA|+|FB|≥|AB|，所以2|MM1|=|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|≥|AB|=a，

　　即当AB过焦点时M到准线距离取得最小值,为|AB|的一半,此时M到x轴距离最小。不过这个方法只证明了AB长不小于2p时的情形。

　　方法二：令AB所在的直线方程是：y=kx+b,代入x2=2py得x2-2pkx-2pb=0，

　　如令A(x1,y1)、B(x2,y2)则有x1+x2=2pk,x1x2=-2pb。

　　所以由弦长公式可得：a2=|AB|2=(1+k2)[(2pk)2+8pb]，

　　上为增函数可知k=0时y1+y2最小(因而M到x轴距离最小)，此时AB平行x轴；

　　方法三：“物理”方法。

　　如图，

　　对于后一条件易证明弦恰过焦点，对于前一条件，当然是指弦与x轴平行了。

　　综上所述，当弦长不小于通径时，它过焦点时重心最低；当弦长小于通径时，它平行于x轴(这样的弦因为太"短"，不能够过焦点)时重心最低。从而根据物理学原理证明了原数学问题。

　　(5)上述探索的过程表明：“数理相通，数学与物理是人们从不同角度认识世界的两种表面迥异但内涵相同的东西。总之它们可以互相证明、变通。如本题，一旦理解了它的物理含义，则它其中隐含的东西就昭然若揭，思路明晰了。”