“用 两 条 腿 走 路”

摘要：

数学思维在思维科学中具有极其重要的地位，中学数学几乎无时无刻不在引导学生进行思维活动，因此作为初中数学教师就需要我们精心地设计思维训练的方案，要不失时机地对学生进行各种思维的培养，教者认为在数学思维的训练方面，要加强“发散性”训练和“收敛性”训练相结合；动静训练结合，正反训练结合，“渐进性”与“跳跃性”训练结合，“直观性”与“抽象性”训练结合。用两条腿走路对教学是大有裨益的。

关键词：

数学思维         关系          结合           训练

— ———————————————————————————————

初中数学教学不仅蕴含了广博精深的知识，更体现了丰富的思想和方法，是对学生进行素质教育的最佳素材，但笔者在教学中发现：在对着千变万化的习题，往往有很多同学会望而生畏，影响了他们对教学学习的兴趣和各种能力的培养，这就需要教师不断地优化教育艺术和策略来帮助学生真正地学会学习，要精心地设计思维训练的方案，要不失时机地对学生进行各种思维的培养。

一、“发散性”训练和“敛聚性”训练相结合。

创造性思维是创造力的基础，创造思维多以发散思维开始，以收敛思维告终，两种思维缺一不可，学生的学习过程是一个特殊的认知过程，经历从发散到收敛的过程，说明收敛思维能力和发散思维能力在整个思维能力中的特殊重要性，有必要把收敛思维训练与发散思维训练结合起来。

所谓发散思维是指沿着各种不同的方法去思想问题，寻求多样性解答的思维方式，它从给定的信息中产生新的信息，获得多种可能的结果。因此，在中学教学中，适当地进行发散思维训练，对于培养和发展学生思维能力，具有重要的作用。

例1：已知：如图2-1，两圆内切于点T，TA，TB分别交⊙O，⊙O’于点A，C，B，D，连结AB，CD，求证：AB∥CD。(选自黄新民书P46页)

演变1：  已知：如图2-2，两圆相交于点E，F，直线AC，BC，分别过点E，F，且交⊙O，⊙’于点A，C，B，D，连结AB，CD。求证：AB∥CD。

演变2 ： 已知：如图2-3，两圆外切于点T，直线AB，BC过点T，分别交⊙O，⊙O’于点A，D，B，C，连结AB，CD，求证：AB∥CD。

 

 

 

演变3：若在演变1中增加条件“AC∥BD。”则可以得出什么结论？

AC=BD，（2）AB=CD，（3）四边形ABCD是平行四边形）

开放2已知：⊙O和⊙O’相交于E，F两点，经过E，F两点分别作直线AC和BD，连结AB，CD。

问：当AC和BD满足怎样的条件时，四边形ABCD是怎样的特殊四边形？并证明所得的结论（此时，由于没有给出图形，因此可以得出各种不同的结论）。

在原问题的演变和开放的过程中，教师只是做一些提示，然后由学生自己编题，增强学生的参与感，破除学生对问题的神秘感，实现心理换位，使学生能够深刻地理解原问题的数学意义，自由地、发散地创作新问题，使学生思维的广阔性得到培养。

当然，我们在培养学生发散性思维的同时，也要注重对学生的敛聚性思维的培养，敛聚性思维主要是指从特殊到一般的思维过程，也是一个分类、概括、归纳的思维过程，敛聚性思维能力的提高，有利于学生综合运用知识进行解题

 

的能力提高，有利于学生综合运用知识进行解题能力的提高，故我们在章节小结或发散思维后要对学生进行敛聚性思维的培训，在强调一题多解，也要重视多题一解的训练。

例2：两个边长为1的正方形，其中一个正方形的某一个顶点位于另一个正方形的中心O，并绕O旋转。求：两个正方形重叠部分的面积。

 

 

 

分析：据一般情形，两个正方形重叠部分是一个不规则的四边形，不易判定其面积的大小，考虑到特殊化策略，不妨将绕O旋转的正方形置于特殊位置，比如使该正方形的边平行于以O为中心的正方形的边。

例3：如图20-5，P是等腰三角形ABC的底边BC上异于B，C两点的一个动点，过点P作BC的垂线分别交AB，BC（或其延长线）于E，F两点，AD⊥BC，垂足为D。

（1）当点P运动至D点时，E，F皆重合于A点，此时有PE+PF=    AD；

（2）当点P运动点D以外的任一位置时，上述结论是否仍成立？若不成立，请说明理由；若成立，给予证明。（选自〈中考数学〉P60页）

评析：根据由特殊状态推出一般，联想到含有动点问题的几何的一思路是动中求静，找出动点的特殊位置。

二、动静结合训练

动和静是矛盾的统一，是问题的两个方面，在一定的条件下可以相互转化，真可谓是“动中有静，静中有动”“静中有动”就是通过图中有关的点、线段或部分图形的变化或运动得到许多新的图形；“动中有静”就是指有些图形通过适当的变化，数学中的某些问题如能恰当运用运动、变化的观点，用动态的思维去分析，解决问题，善于捕捉运动中相对静止的信息，在运动中分析，在变化中求解，动静结合，巧妙构思，让人回味。

例4：如图，E，F分别是正方形，ABCD的

边BC，CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF

于H点，求证：AH=BC。（选自〈中学数学教研〉Ｐ３４页）

分析：从∠1+∠2=45°出发，把△ADF顺时针绕A点旋转90°至△ABO，易知O，B，E，C四点在一条直线上，证得：△OAE≌△FAE，故AH=AB=BC。

例5：操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。

探究：设A，P两点间的距离为x。

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；

（2）当点Q在边CD上，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

三、“正面性”训练和“反面性”“逆向性”训练相结合

所谓“正面性”训练就是正确的解题思路进行下面引导，启发学生思维，这是常见的训练形式，这里不再举例赘述。

所谓“反面性”训练，是指教学为纠正某种易发生错误而设置的思维圈套故意地将学生引入岐途，然后通过分析，让学生得出正确的思路。

“逆向性”训练指的是有些例题正面难以突破，应该采用逆向思维，改变思维方式，从反面逆向思维，实现知与未知的转化。

例6：计算

老师可设计过程：原式=

乍看上去，这种解答正确无误，学生也不介意，以为这个问题已解决了，这时应告戒学生这种解法正确吗？为什么？请大家思考。

例7：已知方程（a-1）x2+（a+1）x+a/4  =0有实数根，求a的取值范围。

解：根据题意，有a-1≠0

             △=（a+1）2-4（a-1）·a/4  ≥0  →a≥ -1/3 且a≠1

在解题中，涉及到方程有实数据，就形成了思维定势，当成一元二次方程求解。易忽略a-1≠0时一次方程仍有解。

例8：证明△ABC中，至少有一个内角不小于60°。

分析：如果从正面思维，将要分很多情况进行讨论：∠A、∠B、∠C中，有1个不小于60°，若考虑反面：有0个不小于60°，即∠A、∠B、∠C都小于60°，就简捷多了。设∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A〈60°，∠B〈60°，∠C〈60°，则∠A+∠B+∠C〈180°，与三角形中三内角和为180°矛盾。

四、“渐进性”训练与“跳跃性”相结合。

所谓“渐进性”训练，是指根据循序渐进的原则进行训练，表现在研究某一具体数学问题时，根据其难易程度，将一个复杂的思维过程有目的地分离成若干个简单的思维活动，即设计一定的思维“台阶”，让学生按台阶一个个地“爬”。

例9：如图，表示杭甬铁路沿线主要城市之间路程的千米数，一列火车以80千米/时的速度，于上午8：10从宁波开出。问：

杭州
 
宁波
 
绍兴
 
萧山杭州
 
上虞
 
余姚
 
 

 

 

 

 

（1）从8：46到9：31，该列车行驶在哪一段铁路线上？（途中停车时间略去不计）。

（2）从何时到何时，列车行驶在萧山至杭州这段铁路线上？（列从萧山开出前合计停车25分，结果精确到分）。

这是一道联系生活实际的应用题，学生较易理解，我通过设置以下问题，引导学生观察思考，逐步分析，最后通过建立函数这种数学模型来解决问题。

问题（1）这是一个行程问题，问题中包含有哪些量？哪些是常量？哪些是变量？

问题（2）在速度不变的情况下，列车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（小时）成什么关系？写出函数关系式。

问题（3）列车行驶的时间范围是如何确定的。从8时46分到9时31分指的是从列车开出时间8时10分到8时46分时间为36分=    时；还是从8时10分开出到9时31分时间为1时21分=     时。

问题（4）由正比例函数性质可知，当0.6≤t≤1.35时，80×0.6,80t,80×1.35这三个量之间的大小关系为      。

问题（5）第二个问题中已知什么？求什么？观察图形可知，列车行驶在萧山至杭州这段铁路线上，路程S的取值范围是147≤S≤108。如何求时间t的取值范围？（可将S=80t代入，转化为解不等式组问题）。

问题（6）为确定火车开至萧山、杭州的准确时间，先将路上行驶时间   时化为   时  分，还要考虑到列车的开出时间、路上停车时间、路上行驶时间，将三者相加即可。（列车到达萧山时间为8时10分+25分+1时50分15秒=   时    

分   秒；列车到达杭州时间为8时10分+25分+2时6分=    时  分）

所谓“跳跃性”训练是指从提高学生思维敏捷性的目的出发，有计划地、有步骤地、有可能地让学生的思维活动多个台阶地“跳”。

例：如图（1）在一条河的同一岸边有A、B两个村庄，要在河边修码头M，使AM+BM为最短。确定M定位置；（2）若A、B在河岸两侧，则码头M的位置应如何确定，才能使AM+BM为最小。(选自〈黄岗中考〉Ｐ114页)

为提高学生的思维跨度，培养学生的探索能力，这道题也可去掉第一个图形，让学生的思维去“跳跃”的解题。

这两种训练手段是一对矛盾，其实，它们是辩证的统一体，前者是基础，后者是提高，教学时要根据学生的实际情况因材施教的原则进行，邓从教学对象的接受能力、接受的难易程度两方面去考虑安排。

五、“直觉性”训练与“抽象性“训练

直觉是假设或猜想的重要源泉，它帮助人们提出新的概念和思想，也帮助人们进行选择，同时还帮助人们进行预测，因此，可以认为创造性思维在一定意义上是直觉思维与逻辑的结合。

然而随着年级的升高，数学知识的抽象性也愈来愈强，有的知识也难以“直观化”，这就需要我们数学教师要将“抽象性”训练提高到一定高度，在数学教学中我们要有侧重地对学生进行“抽象性”训练，对有些直观化的知识，也应逐步抽去其具体形象进行思维，以便养成抽象思维的习惯。

例10：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA延长线于R，求证RP=RQ。  （选自〈中小学数学〉2001年第3期P26页）

此题可直观猜想1，由于RQ是

切线，猜想用切线性质定理证明。

猜想2，如图2，考虑到半径OB ⊥BO，QR是切线，猜想用切线定理证明。

猜想3，如图3，因为OB是半径，BQ是弦，猜想用“直径所对的圆周角是直角”证明。

此题目的是让学生在直观的基础上培养猜想判断能力。

例11：不查表求Sin75°的值。

此题可把它转化到三角形中去解，做到数形结合。

例12：m为何值时，方程x2+2mx-（m-12）=0的两根都比2大。

分析：此题若从方程的角度去解，难度较大，若能抓住数形的特征，将方程的两根（数）看成函数图象与x轴的交点（形），此题就可以转化为：m为何值时，抛物线y=x2+2mx-（m-12）=0与x轴的交点在点（2，0）的右侧。

由此可见，“直观性”训练和“抽象性”训练都是思维训练中不可缺少的两个方面，两者均不可轻而视之，在数学知识的教学炽，我以为形象思维只是抽象思维的一种辅助手段，抽象思维是以形象思维为基础的一种较高级的思想形式，所以，我们在实际教学中要把“直觉性”和“抽象性”训练紧密结合起来，使之融为一体，相得益彰。

以上笔者简述了数学教学中要处理好的训练手段的五组关系，当然要处理好的关系远不止这样，概而言之，笔者认为在我们中学数学教学中，一定要用辩证的观点运用各种训练手段，切不可顾此失彼，从而不断提高学生的逻辑思维能力，而思维能力的发展，又将对学生数学基础知识和基本技能的掌握都有不可低估的推动和促进作用。

 

参考文献：《初中数学课堂教学研究》  李求来主编  湖南师范大学出版社

《教学月刊》2001年第2期

《中小学数学》2001年第3期

《初中数学课堂创新教学理论与实践》 黄新民编  浙江大学出版社