如何教会学生解初中数学会考中的难题

如何教会学生解初中数学会考中的难题

                  

                  广州市开发区萝岗中学 罗渭章

   

 

内容提要: 使学生巩固基础知识,有一定的解题技能,并对学生进行必要的分析综合联想等能力的训练,培养学生的直觉思维,使学生能迅速把握数学问题所涉及的基础知识,是使学生能解出初中数学会考中的难题的关键.

 

关键词:  解题技能    联想    把握问题实质   

 

 

每年初中数学会考,一般都把试题分为容易题(基础题),中档题以及难题.近年初中数学会考中,难题一般都占全卷总分的四分之一强,难题不突破学生是很难取得会考好成绩的.

初中数学会考中的难题主要有以下几种:1,思维要求有一定深度或技巧性较强的题目.2,题意新或解题思路新的题目.3,探究性或开放性的数学题.

针对不同题型要有不同的教学策略,无论解那种题型的数学题,都要求学生有一定的数学基础知识和基本的解题技能(对数学概念的较好理解,对定理公式的理解,对定理公式的证明的理解;能很熟练迅速地解答出直接运用定理公式的基础题),所以对学生进行 “双基”训练是很必要的.当然,初三毕业复习第一阶段都是进行 “双基”训练,但要使学生对数学知识把握得深化和基本技能得到强化,复习效果才好.

有些老师认为,对全班进行面上的复习只要复习到中等题就行,不必进行难题的复习,那些智力好的学生你不帮他们复习他们也会做,那些智力差的学生你教他们也白白浪费时间.其实,学生有一定的数学知识和基本的解题技能也不一定能解出难题,这是因为从数学基础知识出发到达初中会考中的难题的答案,或者思维深度要求较高---学生思维深度不够,或者思路很新---学生从来没有接触过.但,很多有经验的初三毕业班的老师的多年的实践证明,针对难题进行专题复习是很有必要的,只要复习得好,对中等以上学生解难题的能力的提高作用是较大的.对此,我们在第二阶段复习中要对学生针对难题进行思维能力的训练和思路拓宽的训练.当然,这种训练也要针对学生的 “双基”情况和数学题型,这种训练要注意题目的选择,不只针对会考,也要针对学生思维的不足,一定量的训练是必要的,但要给出足够的时间给学生进行解题方法和思路的反思和总结,只有多反思总结,学生的解题能力才能提高.老师要注重引导,不能以自己的思路代替学生的思路,因为每个人解决问题的方法是不一定相同的.

过去,有些初三毕业班的老师,在会考复习中,找来各地各区的模拟题对学生进行一轮轮的训练,练完讲,讲完练,师生都很辛苦,但效果却不很理想,这是因为这种题海战术式的复习方法没有做到因材施教,老师的教学对学生的知识技能及思维能力和对数学题型的针对性都不足.学生没有体现学习的主体性,也没有足够的时间进行总结和反思.因此,学生的解题技能和思维能力没有真正得到提高.

有些老师觉得,会考难题难度大,考试题型新而难以捉摸.对难题的专题复习就是把今年会考难题以及当年各地各区的模拟考试题中的难题讲练一次.这种以题论题的复习也难以使学生解难题的能力有实质性的提高.

初中数学会考试题的命题者的命题目的是考查我们初中毕业的学生对初中数学基础知识的掌握情况,试题当然都离不开初中的基础知识.所谓难题,只是笼上几层面纱,使我们不容易看到它的真面目.我们老师的任务就是教会我们的学生去揭开那些看起来神秘的面纱,把握它的真面目.程咬金用三道板斧能在战场上取胜,我们的学生已经掌握了所有初中数学的基础知识,有一定的解题技能,只要我们对学生的引导和训练得当,我们的学生一定能在考场上取胜.

关键是,我们对学生的复习训练能使学生对知识融会贯通并强化学生的解题技能,同时,我们老师的得当的引导,学生训练后的反思总结,对知识的自主构建,从而把握各类数学难题的实质---跟初中数学基础知识的联系.

对难题进行分类专题复习时,应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练以及引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上,并从中培养学生解题的直觉思维.应当先把难题进行分类.然后进行分类训练.在课堂上不必每题都要学生详细写出解题过程,一类题目写一两题就行了,其他只要求学生能较快地写出解题思路,回去再写出详细的解题过程.

我认为可以将初中会考中的难题分以下几类进行专题复习:

 

第一类: 与一到两个知识点联系紧密的难题:

例1 如图,在⊙O中,C是弧AB的中点,D是弧AC上的任一点(与  D     C

点A,C不重合),则(  )                                 A

(A)AC+CB=AD+DB        (B)AC+CB<AD+DB                               B

(C)AC+CB>AD+DB         (D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

教学引导: 与线段大小比较有关的知识是什么?(三角形任意两边之和大于第三边或大边对大角等)

          如何把AC+CB与AD+DB组合在一个三角形中比较大小呢?

附解答方法:以C为圆心,以CB为半径作弧交BD的延长线于点E连结AE,CE,AB.

∵CE=CB     ∴∠CEB=∠CBE    又∠DAC=∠CBE         E         C

    ∴∠CEB=∠CAD    而CA=CE   得∠CEA=∠CAE                 D

    ∴∠CEA-∠CEB=∠CAE-∠CAD                               A

∴∠DEA=∠DAE                                                         ,,B

 

∴DE=DA

 

     在△CEB中,CE+CB>BE    即AC+CB>AD+DB. 故选(C).

 

评议: 本例教学关键是引导学生把AC,CB,AD,DB这些线段构造在一个三角形上.

 

例2   已知: ⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,若PM切⊙O1于M,PN切⊙O2于N,且PM>PN.试指出点P所在的范围.

 

教学引导:(1) 先画图,试判断,并尝试去证明.(2)看看可能有几种情况.

                                                              P

(3)出示右图,要求学生指出点P的范围(点P在直线AB的⊙O2

的一侧,且在⊙O2外),学生指出点P的范围后,要求学生             D

证明 .(4)学生证明有困难时,作点拨: 若点P在       M  A            N

                                                       O1    C     O2

直线AB上时可以证得什么? (PM=PN),如何证明?            B

(用切割线定理:PM2=PA*PB,PN2=PA*PB,故,PM=PN)

现在可以应用切割线定理来证明PM>PN吗?                 图一

 

.(5)学生还不能证明时,作提示:

连结PB,交⊙O1于点C,交⊙O2于D,用切割线定理

 

(证明:PM2=PC*PB,PN2=PD*PB,因PC>PD,所以PC*PB>PD*PB,即PM2>PN2,所以PM>PN)

 

(6)是不是还有其他情况?(引导学生找出以下两种情况:图二和图三,并要求学生指出点P的范围,并作出证明)

 

                                P                                     P

                       N                                M

                                    A                            A

                           O2    O1    M

                                                         O1   O2    N

                                  B                              B

                                                               

                        图二

                                                        图三

评议:本题关键是引导学生用切割线定理来证明,并且进行分类讨论.

 

这类难题,教学的关键是引导学生紧扣与题目相关的知识点,直到把问题解决.

第二类: 综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题.

这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法,运用一些数学思想和方法,以及一定的解题技巧来解答.

例1 在三角形ABC中,点I是内心,直线BI,CI交AC,AB于D,E.已知ID=IE.

求证: ∠ABC=∠BCA,或∠A=60°.

教学点拨:  本题要运用分析与综合的方法,从条件           A

与结论两个方向去分析.  从条件分析,由ID=IE                  E’

                                                 E               D

及I是内心,可以推出△AID和△AIE是两边一对            I

                                              B                          C

角对应相等,有两种可能: AD=AE或AD≠AE,

 

   从这可以推得∠ADI与∠AEI的关系. 从结论分析,要证明题目结论,需要找出,∠ABC与∠ACB的关系,∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB,而∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC.从条件和结论两个方面分析,只要找出∠AEI与∠ADI的关系就可以证明本题.

附证明过程: 连结AI,在△AID和△AIE中,AD与AE的大小有两种可能情形: AD=AE,或AD≠AE.

(1)如果AD=AE,则△AID≌△AIE,有∠ADI=∠AEI.

而∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB,  ∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC.

所以,1/2∠ABC+∠ACB=1/2∠ACB+∠ABC.

即,∠ABC=∠ACB.

(2)如果AD≠AE,则设AD>AE,在AD上截取AE’=AE,连结IE’.则△AIE’≌△AIE.

所以,∠AE’I=∠AEI.     IE’=IE=ID.

因此,△IDE’为等腰三角形,

则有   ∠E’DI=∠DE’I.

因   ∠AE’I+∠DE’I=180°,

所以,∠AEI+∠AIE=180°.

因此,(1/2∠ACB+∠ABC)+(1/2∠ABC+∠ACB)=180°.

所以,∠ABC+∠ACB=120°,

从而,∠A=180°－120°=60°.

如果AD<AE,同理可证∠A=60°.

例2 如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF交⊙O于点E,过点E作直线与AF垂直,交AF的延长线点D,且交AB的延长线于点C.

(1)求证: CD与⊙O相切于点E.

(2) 若CE*DE=15/4,AD=3,求⊙O的直径及                             A

∠AED的正切值.                                          O

教学引导: (1)证OE⊥CD.                             B            F

                                                        C     E     D

(2)要求⊙O的直径,可先求半径OE.

因OE∥AD,所以有OE/AD=CO/CA,AD=3,CO,CA都与BC及OB,AB(⊙O的半径,直径)有关.

所以,求得BC即可以求出OE.如何求BC呢?能否利用CE*DE=15/4这个条件?

让学生去探讨.                                         

   附解答过程: (1)略.(2)过点D作DG∥AC,交AE的

                                                                 A

  延长线于点G,连结                                      O                 

                                                   B             F

  BE,OE,则∠BAG=∠G,∠C=                          C

  ∠EDG.∵CD与⊙O                                       E      D

  相切于点E,                                         G

 

∴∠BEC=∠BAG.                                      

 

 ∴∠BEC=∠G.  ∴△BEC∽△EGD.  ∴DE/CB=DG/CE.

  ∴CB*DG=DE*CE.

  ∵∠BAG=∠DAG=∠G.   ∴AD=DG=3.   又∵CE*DE=15/4.  ∴CB=5/4.

   由(1)得OE∥AD, ∴CO/CA=OE/AD. 设OE=x (x>0), 则CO=5/4+x=(5+4x)/4,

  CA=5/4+2x=(5+8x)/4,  ∴(5+4x)/(5+8x)=x/3. 整理得8x2-7x-15=0.  解得x1=-1(舍去),x2=15/8.  ∴⊙O的直径为15/4, ∴CA=CB+BA=5.由切割线定理,得 CE2=CB*CA=25/4,   ∴CE=5/2,  ∴DE=15/4*1/CE=3/2.

  在Rt△ADE中,tan∠AED=AD/DE=2.

  例3 某公司在甲,乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆,现需要调往A县10辆,调往B县8辆.已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元;从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.

(1)设从乙仓库调往A县农用车x辆,求总运费y的关于x的函数关系式;

(2)若要求总运费不超过900元.问共有几种调运方案?

(3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少元?

教学引导:

(1)先把题目的数量关系弄清楚.

引导学生把本题数量关系表格化:

运费 

 
     甲仓库
     乙仓库
 
   调运到A县
      40元
     30元
 
   调运到B县
      80元
     50元
 

 

       调运车辆数

      

 
      甲仓库
      乙仓库
 
   调运到A县
     (10-x)辆
      x辆
 
   调运到B县
  12-(10-x)=2+x 辆
     (6-x)辆
 

 

(2)引导学生写出y与x的函数关系式后,运用函数的性质解答题目的后两问.

   附解答过程:

           解: (1)y=30x+50(6-x)+40(10-x)+80(2+x)=20x+860.

(2)20x+860≤900,x≤2,∵0≤x≤6,∴0≤x≤2.

因为x为非负整数,所以x的取值为0,1,2.

因此,共有3种调运方案.

(3)因为y=20x+860,且x的取值为0,1,2.由一次函数的性质得x=0时,y的取值最小,y最小=860(元).此时的调运方案是:乙仓库的6辆全部运往B县,甲仓库的2辆运往B县,10辆运往A县,最低费用为860元.

 

      评议: 本题运用函数的思想,可以给解题带来了简便.

      第三类  开放性,探索性数学难题.

      无论是开放性还是探索性的数学难题,教学重点是教会学生把握问题的关键.

例1 请写出一个图象只经过二,三,四象限的二次函数的解析式.

教学点拨: 二次函数的图象只经过二,三,四象限,就是不能经过第一象限,即当x>0时,y<0.什么样的解析式的二次函数必有x>0时y<0呢?这是问题的核心.

(答案:当二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c都为负时,必有x>0时,y<0,如:y=-x2-2x-3)

      例2 已知: 如图,AB,AC是⊙O的两条弦.且AB=AC=1,

∠BAC=120°,P是优弧BC上的任意一点,                              P

(1)求证:PA平分∠BPC,                                B

(2) 若PA的长为m,求四边形PBAC的周长,                     O

(3)若点P在优弧BC上运动时,是否存在某一个                          C

位置P,使S△PAC=2S△PAB?若有,请证明;若没有,请说明理由.      A

 

教学引导: (2)因为AB=AC=1,PA=m,由(1)可证∠APB=∠APC=30°,因此,∠AOB=60°所以OA=OB=AB=1,而AP=m,以A为圆心,以m为半径作弧与圆相交一般有两个交点(若m=2,AP为圆的直径则只有一个交点).因此,PB和PC是变的,但变化只有两个位置,PB+PC应该不变.求出PB+PC就可以求四边形PBAC的周长.把PB和PC组合在一起求出来是这问题的关键.(3)这问题的关键是如何确定点P.这可以由三角形PAC和三角形PAB的面积关系推出.                        P

                                 P

                      B     O

                                     C                  B     O   N

                                                                G

                         A                                      M      C

                                                             A

P’

 

     (解题要点: (1)略. (2)延长PC至P’,使CP’=BP,连结BC,求出BC,证明△PAB≌△P’AC,得AP’=AP,证明△ABC∽△APP’,用对应边的比例关系可以求出PP’即PB+PC.(3)连结BC交PA于点G,过B作BM⊥PA,过C作CN⊥PA,垂足分别为M,N.证明△BGM∽△CGN,得BG/CG=BM/CN=S△PAB/S△PAC=1/2.所以过点A和点G作射线与⊙O的交点,就是符合题目条件的点P的位置.)

第四类  新题型(近年全国各地初中会考中才出现的题型)

初中会考题型再新也离不开初中的基础知识,所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识,然后,运用与之相关的基础知识,通过分析,综合,比较,联想,找到解决问题的办法.

例1 如图一,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图.经过多年开垦荒地,现已变成如图一所示的六边形ABCMNE,但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图一中的折线CDE)还保留着.张大爷想过点E修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案.(不计分界小路与直路的占地面积)

(1)写出设计方案,并在图二中画出相应的图形;

(2)说明方案设计理由.

        E                                 E

         A                      N        A                 D         N

D                               H

                               M     B                     F        M

      B               C                                  C

       图一                                      图二

教学引导:

                如图二, ,试过E作一直线EHF,交CD于H,交CM于F, 按题意,要使EABCF的面积=EABCD的面积,且使EDCMN的面积=EFMN的面积(满足张大爷的要求). 即要使三角形EHD的面积=三角形CHF的面积.这要怎样的条件?(答案: 连结EC,过D作DF∥EC交CM于点F,EF就是张大爷要修路的位置.)

      评议: 本题是实际应用题,其相关的基础知识是梯形的一些性质:  如下图,

    梯形ABCD中,AB∥CD,有三角形ADC的面积=三角形BCD的面积,都减去三角形CDO的面积,即得三角形ADO的面积=三角形BCO的面积.能联想到这知识是解决本题的关键.

 

            A             B

                 O

 

         D                  C

        

      例2 电脑CPU芯片由一种叫 “单晶硅”的材料制成,未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片,叫 “晶圆片”.现为了生产某种CPU芯片,需要

长,宽都是1cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为10.05cm

问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法

和理由.(不计切割损耗)

教学引导: 本题人人会入手做,但要按一定的顺序切割才能得到正确答案.

方法:(1)先把10个小正方形排成一排,

看成一个长条形的矩形,这个矩形刚好能放入             A                 D

直径为10.05cm的圆内,如图中矩形ABCD.                                 

  ∵AB=1,BC=10,

  ∴对角线AC2=102+12=100+1=101<10.052.

(2)在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小的正方形.

这样新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可以看成矩形EFGH,其长为9,高为3,对角线EG2=92+32=81+9=90<10.052.但新加入的这两排小正方形不能是每排10个,因为102+32=100+9>10.052.

(3)同理,∵82+52=64+25=89<10.052,而92+52=81+25=106>10.052.

 所以,可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形,那么现在小正方形已有5层.

(4)再在原来的基础上,上下再加一层,共7层,新矩形的高可以看成是7,那么新加入的这两排,每排都可以是7个但不能是8个.

∵72+72=49+49=98<10.052

而82+72=64+49=113>10.052.

(5)在7层的基础上,上下再加入一层,新矩形的高可以看作是9,每排可以是4个,但不能是5个.    ∵42+92=16+81=97<10.052,而52+92=25+81=106>10.052.

现在总共排了9层,高度达到了9,上下各剩下约0.5cm的空间,因为矩形ABCD的位置不能调整,故再也放不下1个小正方形了.

所以,10+2*9+2*8+2*7+2*4=66(个).

评议: 本题解题的关键是①一排一排地放小正方形,②利用圆的内接矩形的对角线就是圆的直径的知识.

可能我们都有这样的经验: 我们讲解难题的时候,学生都能理解,但让学生再做另外一些难题的时候,学生又做不出来.这是因为,我们只是把结果告诉学生,学生解题的思维方式没有得到训练.在难题的教学中,我们不能只把结论告诉学生,更重要的是要让学生知道解题的思维方式,我们不要急于把题目的解法告诉学生,应当引导学生自己去解题,在解题的过程中寻找解题思路以及训练思维能力和创新能力,这也是新课标的要求;我们应当把教学重点放在训练学生解题的思路上,在引导学生寻找解题思路的这一过程之中,使学生找到开锁的钥匙.

参考资料:

1.<<初中数学复习专辑>>(<<中学数学研究>>2003年10月).

2.<<广州市中考数学试题分析与测评>>(广州市中学数学教研会编)。

3.<<2004年广州市高中阶段学校招生考试指导书(数学)>>(广州市教育局教研室).

4.<<中学数学思想方法概论>>(主编 王林全  副主编  林国泰).