用数学知识解决化学问题

一．问题的提出：
在两支容积相同的注射器内，分别吸入相同体积的 NO2 ，当                  
达到平衡时，将一支注射器压缩，可见混合气体的红棕色先变深，然后又变浅，说明当加大压强时，化学平衡向正方向移动。把达到新平衡的混合气与对比的注射器内的原混合气的红综色相比较，难于清晰看出前后两种平衡状态的颜色的深浅？同理，当拉开注射器时，混合气体颜色先变浅，又变深。仍是无法比较出前后两种平衡状态的颜色深浅？
此问题通过实验来解决，看起来可行，但实际在中学实验中不易做到。比如温度过低或压缩比例较小都会造成现象不明显。（25℃，压强至1/3以下，与原状态做对照现象较明显 ）。在高考处于3 + 综合的今天，有效的利用相关学科的知识对化学知识做以阐述是不无裨益的。下面试以数学知识对此问题做以分析，供老师们参考和评议。
二．问题的讨论：
此题关键是比较平衡移动前后的浓度大小关系，在                     中

有           关系      故

设体积改变前平衡状态时 [NO2]=A mol/L，化学平衡常数为K ，则原平衡状态时 [N2O4]=KA2 mol/L ，使注射器体积改变为原容积的n倍后， NO2浓度改变了Wmol/L，体积改变后平衡状态时NO2的浓度用[NO2]/表示。
                                                 
改变容积后的初始浓度(mol/L)                  mA         mKA2
改变容积后的平衡浓度(mol/L)                  mA－x    mKA2+ x/2
（其中m=1/n，压缩注射器时x=W, 拉开时x=-W）
只要比较出压缩前[NO2]与压缩后平衡状态[NO2]的大小，就能知道这两种状态下的气体颜色关系。

其它条件不变时，              

整理得：2Kx2-(4KmA+1)x+2KmA2(m-1)=0

解得：

（一）压缩注射器
此时n＜1，则m＞1,x=W

取x1时，[NO2]/=mA-W=mA-x1=
                         
因K＞0,A＞0,m＞1

故[NO2]/= 
    
此不符合实际

取x2时,[NO2]/=mA–W=mA - x2=

讨论：

①若[NO2]/＜[NO2]，则

整理得：(16K2A2+8KA)(m–1)＜0

    ∵m＞1,∴此式不成立

②若[NO2]/＞[NO2]，则

整理得：(16K2A2+8KA)(m–1)＞0

∵m＞1，∴此式成立

结论：压缩注射器后，平衡状态混合气体颜色比压缩前还要深。
（二）拉开注射器
n＞1时，则0＜m＜1，因此平衡向生成NO2的方向移动，故x=-W

取x1时，[NO2]/=mA+W=mA-x1=mA-（mA+                         ）
            
=
不符合实际情况
取x2时，[NO2]/=mA+W=mA-x2=
讨论：
①若[NO2]/＞[NO2]，则：
整理得：（16K2A2+8KA）（m-1）＞0
    ∵0＜m＜1，∴此式不成立
②若[NO2]/＜[NO2]，则：

整理得：(16K2A2+8KA)(m–1)＜0

∵0＜m＜1，∴此式成立
结论：拉开注射器活塞时，所处平衡状态气体颜色比拉开前平衡状态气体颜色要浅。
上述推算明确了在NO2与N2O4的平衡体系中，改变体积，平衡前后颜色的变化情况。同时，说明了“平衡向哪个方向移动，哪些物质的浓度就增大”这种习惯认识的局限性，只有在体积不变的情况下才具有严密性。因为平衡向哪个方向移动，哪些物质的绝对量增大 ，而相对量并不一定增大 ，百分含量增大，而物质的量浓度不一定增大，而颜色的深浅与物质的量浓度有直接关系，而与百分比浓度无直接关系，因为其中存在着一个是否有体积改变的问题。
此方法可让学生完成，既练习了一元二次方程的求根方法，又对化学知识有了更为明确的认识，同时培养了学生多角度多方位分析问题和解决问题的能力。