2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

(2009年5月3日8∶00－10∶00)

一、填空题(每小题7分，共70分) http://www.mathedu.cn

1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ．

2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ．

3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ．

4．已知＝，则实数x＝ ．

5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ．

6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是 ．

7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3．

8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝ ．

9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，则此数列的前2009项的和为 ．

10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝ ．

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) http://www.mathedu.cn

11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．

12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．

13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．

14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；

⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

(2009年5月3日8∶00－10∶00)

一、填空题(每小题7分，共70分) http://www.mathedu.cn

1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ．

填0．

解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，

∴ α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋π(α＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z)．

∴ cos(α＋β)＝0．

2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ．

填11．

解：设公差为d，则得

55＝－5×11＋×11×10d(55d＝110(d＝2．

ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)(k＝11．

3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ．

填．

解：由(2b)2＝2c×2a(a2－c2＝ac(e2＋e－1＝0(e＝．

4．已知＝，则实数x＝ ．

填1．

解：即＝(32x－4×3x＋3＝0(3x＝1(舍去)，3x＝3(x＝1．

5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ．

填．

解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．

VAPQR＝VAPQD＝×VAPCD＝××VABCD＝VABCD；

又，SBPQ＝SBCD－SBDQ－SCPQ＝(1－－×)SBCD＝SBCD，

VRBPQ＝VRBCD＝×VABCD＝VABCD．

∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．

又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：

在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点．

由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．

在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点．

由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝．

∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．

6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是 ．

填[3，4]．

解：定义域(0，4]．在定义域内f(x)单调增，且f(3)＝0．故f(x)≥0的x的取值范围为[3，4]．

7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3．

填78000．

解：设净水器的长、高分别为x，ycm，则

xy＝300，

V＝30(20＋x)(60＋y)＝30(1200＋60x＋20y＋xy)

≥30(1200＋2＋300)＝30(1500＋1200)

＝30×2700．

∴ 至少可以存水78000cm3．

8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝ ．

填－．

解：设||＝||＝||＝R．则

·＝(＋)·＝·＋·＝R2cos(π－2C)＋R2cos2B

＝R2(2sin2C－2sin2B)＝(2RsinB)2－(2RsinC)2＝(122－132)＝－．

9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，则此数列的前2009项的和为 ．

填2008＋．

解：若an＋1≠0，则an＝2－，故a2008＝2－，a2007＝2－＝－，a2006＝2＋，a2005＝．

一般的，若an≠0，1，2，则an＝2－，则an－1＝，an－2＝，an－3＝an＋1，故an－4＝an．

于是，an＝502(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2009＝502(a2005＋a2006＋a2007＋a2008)＋a2009＝2008＋．

10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝ ．

填0，，－1．

解：若a为负整数，则a2＞0，2b(a＋b)＜0，不可能，故a≥0．

于是a2＝2b(a＋b)＜2(a＋1)(a2－2a－2＜0(0≤a＜1＋(a＝0，1，2．

a＝0时，b＝0；

a＝1时，2b2＋2b－1＝0(b＝；

a＝2时，b2＋2b－2＝0(b＝－1．

说明：本题也可以这样说：求实数x，使[x]2＝2{x}x．

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) http://www.mathedu.cn

11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．

解：取方程组代入得，25y2－64y＋28＝0．

此方程的解为y＝2，y＝．

即得B(0，2)，A(－，)，又左焦点F1(－，0)．

连OA把四边形AFOB分成两个三角形．

得，S＝×2×＋××＝(72＋7)．

也可以这样计算面积：

直线与x轴交于点C(－4，0)．所求面积＝×4×2－×(4－)×＝(72＋7)．

也可以这样计算面积：

所求面积＝(0×2－0×0＋0×－(－)×2＋(－)×0－(－)×＋(－)×0－0×0)＝(＋)＝(72＋7)．

12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．

解：＝(△ACD∽△ABC(∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．

∴ CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．

∴ cosA＝＝＝＝．

∴ BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·＝72·9(BC＝21．

13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．

解法一：显然k＞0．(＋)2≤k2(2x＋y)((2k2－1)x－2＋(k2－1)y≥0对于x，y＞0恒成立．

令t＝＞0，则得f(t)＝(2k2－1)t2－2t＋(k2－1)≥0对一切t＞0恒成立．

当2k2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k2－1＞0．

此时当t＝时，f(t)取得最小值－＋k2－1＝＝．

当2k2－1＞0且2k2－3≥0，即k≥时，不等式恒成立，且当x＝4y＞0时等号成立．

∴ k∈[，＋∞)．

解法二：显然k＞0，故k2≥＝．令t＝＞0，则k2≥＝(1＋)．

令u＝4t＋1＞1，则t＝．只要求s(u)＝的最大值．

s(u)＝≤＝2，于是，(1＋)≤(1＋2)＝．

∴k2≥，即k≥时，不等式恒成立(当x＝4y＞0时等号成立)．

又：令s(t)＝，则s((t)＝＝，t＞0时有驻点t＝．且在0＜t＜时，s((t)＞0，在t＞时，s((t)＜0，即s(t)在t＝时取得最大值2，此时有k2≥(1＋s())＝．

解法三：由Cauchy不等式，(＋)2≤(＋1)(2x＋y)．

即(＋)≤对一切正实数x，y成立．

当k＜时，取x＝，y＝1，有＋＝，而k＝k＜×＝．即不等式不能恒成立．

而当k≥时，由于对一切正实数x，y，都有＋≤≤k，故不等式恒成立．

∴ k∈[，＋∞)．

14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；

⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．

解：对于任意n∈N*，n2≡0，1(mod 4)．

设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此时，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数；② 若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．

由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是ab(mod 4)且a与b均不能被4整除．

⑴ 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．

即2，3，13是满足题意的一组自然数．

⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．

这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．

故证．

2010年全国高中数学联赛

江苏赛区·初赛

一、填空题（本题满分70分，每小题7分）

1．方程
的实数解为 ．

2．函数

R
的单调减区间是 .

3．在△
中，已知
，
，则
＝ .

4．函数
在区间
上的最大值是 ，最小值是 ．

5．在直角坐标系
中，已知圆心在原点
、半径为
的圆与△
的边有公共点，

其中
、
、
，则
的取值范围为 ．

6．设函数
的定义域为R，若
与
都是关于
的奇函数，则函数

在区间
上至少有 个零点.

7．从正方体的
条棱和
条面对角线中选出
条，使得其中任意

两条线段所在的直线都是异面直线，则
的最大值为 ．

8．圆环形手镯上等距地镶嵌着
颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中

镀
金
银的概率是 ．

9．在三棱锥
中，已知
，

，且
．已知棱
的长为
，则此棱锥的体积为 ．

10．设复数列
满足
，
，且
．若对任意
N* 都有
，

则
的值是 ．

二、解答题（本题满分80分，每小题20分）

11．直角坐标系
中，设
、
、
是椭圆
上的三点．若
，证明：
的中点在椭圆
上．

12．已知整数列