高中数学难点解析

难点21 直线方程及其应用

直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的.

●难点磁场

(★★★★★)已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c.

●案例探究

［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.

错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值.都将使问题变得复杂起来.

技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.

解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值.

由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、

(bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为：

kAC=tanxCA=
,

于是tanACB=

由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤
,当且仅当
=x，即x=
时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(
,0),因此，学生距离镜框下缘
cm处时，视角最大，即看画效果最佳.

［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，