高中数学难点解析

难点25 圆锥曲线综合题

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.

●难点磁场

(★★★★)若椭圆
=1(a＞b＞0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域.

●案例探究

［例1］已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属

★★★★★级题目.

知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识.

错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的.

技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+
与R=
的大小.

解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,

圆k的半径R=|AK|=

∴|MN|=2
=2a(定值)

∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.

(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，

令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0

∴y1y2=y02－a2

∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.

∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.

又|MN|=|y1－y2|=2a

∴|y1|+|y2|=|y1－y2|

∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.

∴0≤x0≤
.

圆心k到抛物线准线距离d=x0+
≤a,而圆k半径R=
≥a.

且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.

［例2］如图，已知椭圆
=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值