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概　率　初　步

制作：pan

时间：2004年4月21日

概　率　初　步

温故而知新

1、随机现象

事前不能完全确定，事后会出现各种可能结果之一的现象。

2、随机试验(简称“试验”)

有的试验，虽然一次试验的结果不能预测，但一切可能出现的结果却是可以知道的，这样的观察称为随机试验。

3、样本空间Ω

一个随机试验的一切可能出现的结果构成的集合。

4、随机事件(简称“事件”)用A、B、C等表示

样本空间的任一个子集。

5、基本事件ω

样本空间的元素(随机试验每一个可能出现的结果)

概　率　初　步

考察下列现象，判断那些是随机现象，如果是随机试验，则写出试验的样本空间

1、抛一铁块，下落。

2、在摄氏20度，水结冰。

3、掷一颗均匀的骰子，其中可能出现的点数为1，2，

3，4，5，6.

4、连续掷两枚硬币，两枚硬币可能出现的正反面的

结果。

5、从装有红、黄、蓝三个大小形状完全相同的球的

袋中，任取两个球，其中可能出现不同色的两个

球的结果。

分析例3、4、5的每一个基本事件发生的可能性

概　率　初　步

3、掷一颗均匀的骰子，它的样本空间为：

Ω＝｛1,2，3,4，5,6｝

它有6个基本事件，即有6种不同的结果，由于骰子 是均匀的，所以这6种结果的机会是均等的，于是，掷一颗均匀的骰子，它的每一种结果出现的可能性都是 .

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　古　典　概　率

我们会发现，以上三个试验有两个共同特征：

(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有

限个，即只有有限个不同的基本事件；

(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。

我们称这样的随机试验为古典概型。

1、古典概型

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　古　典　概　率

一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n,

随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用

来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概

率，记作P(A)，即有

我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。

2、古典概率

注 A即是一次随机试验的样本空间的一个

子集，而m是这个子集里面的元素个数；

n即是一次随机试验的样本空间的元素个数。

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　古　典　概　率

显然，

(1) 随机事件A的概率满足

0≤P(A)≤1

(2)必然事件的概率是1，不可能的事件的概率是0,即

P(Ω) =1 ， P(Φ) =0.

如：

1、抛一铁块，下落。

2、在摄氏20度，水结冰。

是必然事件，其概率是1

是不可能事件，其概率是0

3、概率的性质

概　率　初　步

例 题 分 析

1、掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率。

分析：先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间Ω和掷得偶数点事件A,再确定样本空间元素的个数n，和事件A的元素个数m.最后利用公式即可。

解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是Ω={1, 2，

3, 4，5，6}

∴n=6

而掷得偶数点事件A={2, 4，6}

∴m=3

∴P(A) =

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例 题 分 析

2、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中每次

任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取

出的两件中恰好有一件次品的概率。

分析：样本空间 事件A 它们的元素个数n,m

公式

解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是

Ω={ }

(a,b),

(a,c),

(b,a),

(b,c),

(c,a),

(c,b)

∴n = 6

用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则

A={ }

(a,c),

(b,c),

(c,a),

(c,b)

∴m=4

∴P(A) =

概　率　初　步

例 题 分 析

3、从含有两件品a,b和一件次品c的三件产品中每次任

取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出

的两件中恰好有一件次品的概率。

解：有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结 果组成的

样本空间是

Ω={ }

(a,a),

(a,b),

(a,c),

(b,a),

(b,b),

(b,c),

(c,a),

(c,b),

(c,c)

∴n=9

用B表示“恰有一件次品”这一事件，则

B={ }

(a,c),

(b,c),

(c,a),

(c,b)

∴m=4

∴P(B) =

概　率　初　步

练 习 巩 固

1、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中任取2

件，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。

解：试验的样本空间

Ω={ab,ac,bc}

∴n = 3

用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则

A={ac,bc}

∴m=2

∴P(A)=

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练 习 巩 固

2、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求两数

都是奇数的概率。

解：试验的样本空间是

Ω={(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)}

∴n=10

用A来表示“两数都是奇数”这一事件，则

A={(13)，(15)，(3,5)}

∴m=3

∴P(A)=

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练 习 巩 固

3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算：

(1)两枚硬币都出现正面的概率是

(2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是

0.25

0.5

4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案

中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出

其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是

0.25

概　率　初　步

练 习 巩 固

6、 在掷一颗均匀骰子的实验中，则事

件Q={4，6}的概率是

7、一次发行10000张社会福利奖券，其中有1

张特等奖，2张一等奖，10张二等奖，100

张三等奖，其余的不得奖，则购买1张奖

券能中奖的概率

概　率　初　步

小 结 与 作 业

一、小 结：

1、古典概型

(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有

限个，即只有有限个不同的基本事件；

(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。

2、古典概率

二、作业：

课本234页，习题12—1A 第4题和第6题

概　率　初　步

思 考

1、在10支铅笔中，有8支正品和2支次品。从中任

取2支，恰好都取到正品的概率是

2、从分别写上数字1, 2，3，…，9的9张卡片中，

任取2张，则取出的两张卡片上的“两数之和为

偶数”的概率是

答案：(1)

(2)

Goodbye

Goodbye

Goodbye

Goodbye

小知识 概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》，从那时起直到十九世纪初，人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、计算及其分析性质的成果，如大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分析概率论》作了总结，形成了古典的描述性统计学。十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时期，二十世纪初至第二次世界大战前，由于法俄概率论和英美统计科学的发展以及它们的结合，使概率统计学得以正式列入数学之林，诸分支在实践中迅速产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农业实验的方差分析、实验设计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇──洛密克抽样表到序贯分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后，概率统计学主要在纯理论研究上取得进展。

　　概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域，从必然现象扩展到偶然现象（随机事件），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革，它使科学与数学结合的历史进程前进了一大步，因此，它的应用十分广泛，除自然科学外，社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统计、统计预报、统计物理、计量史学等边缘学科；它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分方程、随机几何等理论。