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直线与圆 简单线性规划复习

（一）????? 直线的倾斜角α与斜率k

求k方法：1。已知直线上两点P1（x1 ，y1）

P2（x2 ，y2）(x1≠x2) 则

2．已知α时，k=tanα(α≠900)

k不存在（α=900）

3．直线Ax+By+C=0 B=0时k不存在，

B≠0时 k=-A/B

求α方法：k不存在时α=900，

k≥0时 α=arctan k k＜0时 α=π+arctan k

=

（二）直线方程

(三）1。位置关系判定方法：

当直线不平行于坐标轴时（要特别注意这个限制条件）

2。?? 两条直线的交角公式

（1）直线l1到l2的角: 设直线l1，l2

的斜率分别是k1，k2，

则tgθ= (k1k2≠-1)

(2) 两条直线的夹角

tgθ= (k1k2≠-1)

（四）点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是

d=

两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离

为

d= .

（五）直线过定点。

如直线（3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0,不论m取

何值恒过定点（-1，2）

（六）直线系方程

（1）与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法: Ax+By+m=0 (m≠C)

(2) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的

设法: Bx-Ay+m=0

（七）关于对称

（1）点关于点对称（2）线关于点对称（中点坐标公式）

（3） 点关于线对称（4）线关于线对称（中点在对称轴上、kk’= -1二个方程）

几种特殊位置的对称：已知曲线方程f(x,y)=0，则它：

①关于x轴对称的曲线方程是f(x,-y)=0；

②关于y轴对称的曲线方程是f(-x,y)=0；

③关于原点对称的曲线方程是f(-x,-y)=0；

④关于直线y=x对称的曲线方程是f(y,x)=0；

⑤关于直线线y=-x对称的曲线方程是f(-y,-x)=0；

⑥关于直线x=a对称的曲线方程是f(2a-x,y)=0；

⑦关于直线y=b对称的曲线方程是f(x,2b-y)=0

（八）圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心（a,b）

半径r＞0

相应的参数方程为x=a+r cosα y=b+rsinα (α为参数)

圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)

圆心（-D/2,-E/2） r=

（九）点与圆的位置关系

设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有： (1)d＞r 点M在圆外；

(2)d=r 点M在圆上；

(3)d＜r 点M在圆内．

（十）直线与圆的位置关系

设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，直线L的方程Ax+By+C=0，圆心(a，b)到直线L的距离为d,判别式为△，则有：

(1)d＜r 直线与圆相交；

(2)d=r 直线与圆相切:

(3)d＞r 直线与圆相离，即几何特征；

弦长公式：

或 (1)△＞0 直线与圆相交；

(2)△=0 直线与圆相切；

(3)△＜0 直线与圆相离， 即代数特征，

（十一）圆与圆的位置关系

设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=R2（R＞0）和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=r2(r＞0)且设两圆圆心距为d，则有：

（1）d＞R+r 两圆外离；

(2) d=R+r 两圆外切；

(3) │R-r│＜d＜│R＋r│两圆相交．

(4) d= │R-r│ 两圆内切

(5) d＜│R-r│ 两圆内含；

（十二）圆的切线和圆系方程

1．过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．

2．圆系方程：

①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．

②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．

（十三）线性规则问题：

1．判定区域（画可行域）：

法1 特殊点代入（同侧、异侧）

法2 A＞0时Ax+By+C＞0 右侧 Ax+By+C＜0 左侧

法3 B＞0时Ax+By+C＞0 上方 Ax+By+C＜0 下方

2．求最优解步骤：

（1）画可行域 （2）平移（画好L0，平移）

（3）求（解方程组，求最优解） （4）作答

3．方法：平行移动法、逐步调整法、检验法。

（难点是整数解问题）

例1 已知△ABC的顶点A（3，4）、

B（6，0）、C（-5，-2），求

∠A的平分线AT所在的直线方程。

变化：

如已知点A的坐标，已知∠B、

∠C的的平分线所在方程，如何求点

B、C的坐标？

例2 已知L1：x+2my-1=0,L2:(3m-1)x-my-1=0,

求（1）直线L1的倾斜角。

（2）m为何值时两直线平行、重合、相交、垂直？

例3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大?

例4 已知x2+y2=9的内接△ABC中，A点的坐标是（－3，0），重心G的坐标是(-1,-1/2)，求：

（1）直线BC的方程；

（2）弦BC的长度.

例5 设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l∶x-2y=0的距离最小的圆的方程

例6 如果实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,求

（1）y/x最大值 （2）y-x最小值

例7 设A、B、C三点

共线，C点内分AB为

3比1，分别以AC、BC

为直径在AB同侧作半

圆O1、O2，如图所示，

直线AD、BE分别为

圆O1、O2切线，圆O3与圆O1、AD、BE都外切。证明：存在圆O4与圆O1、圆O2、圆O3及BE都外切。

作业：1．（1）一直线L过P（-2，2）且倾斜角是直线x-3y-6=0的倾斜角的一半，求直线L的方程。（2）一直线过点P(-3，4)且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程. （3）自点A(-3，3)发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切，求入射光线和反射光线所在的直线方程.

2．已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0求：（1）AC边上的高所在的直线方程； （2）∠ABC的平分线所在的直线方程；（3）AB与AC边上的中点连线所在的直线方程。

3．圆 的过点（－1，0）的最大弦长为m，最小的弦长为l，则m－l= .

4．设圆上一点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，

且与直线x-y+1=0相交的弦长为 ，求圆方程

5．已知△ACB，CB=3，CA=4，AB=5，点P是△ACB内切圆上一点，求以PA、PB、PC为直径的三个圆的面积之和的最大和最小值。