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直 线 系 方 程

1. 直线系方程的定义

四川江油中学现代技术教研组

2.. 直线系方程的应用

直线系方程的定义

直线系：

具有某种共同性质的所有直线的集合

1.与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为：

Ax+By+m=0 （其中m≠C）；

直线系方程的种类1:

2．与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:

Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）.

直线系方程的种类1:

直线系方程的种类2:

3. 过定点P（x0，y0）的直线系方程为：

A(x-x0)+B(y-y0)＝0

推导：

设直线的斜率为

A(x-x0)+B(y-y0)＝0

直线系方程的种类2:

4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0

相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的

直线系方程为：A1x+B1y+C1＋m( A2x+B2y+C2)=0,

其中m为待定系数.

4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0

相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的

直线系方程为：A1x+B1y+C1＋m( A2x+B2y+C2)=0,

其中m为待定系数.

所以

A1x0+B1y0+C1+m(A2x0+B2y0+C2)=0

证明：

直线A1x0+B1y0+C1+m(A2x0+B2y0+C2)=0

经过点（x0，y0）

直线系方程的应用:

例1.求证：无论m取何实数时，直线

(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，

并求出定点的坐标。

解法1：

将方程变为：

解得：

即：

故直线恒过

例1.求证：无论m取何实数时，直线

(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，

并求出定点的坐标。

解法2：

令m=1，m= -3代入方程，得：

解得：

所以直线恒过定点

若证明一条直线恒过定点或求一条直线必

过定点，通常有两种方法：

方法小结：

法二：从特殊到一般，先由其中的两条特

殊直线求出交点，再证明其余直线均过此

交点。

法一:分离系数法，即将原方程改变成：

f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与

m的取值无关，故从而解出定点。

例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，

且满足下列条件的直线L的方程。

(1) 过点(2, 1)

(2) 和直线3x-4y+5=0垂直。

解（1）：设经二直线交点的直线方程为：

代（2，1）入方程，得：

所以直线的方程为：

3x+2y+4=0

例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，

且满足下列条件的直线L的方程。

(1) 过点(2, 1)

(2) 和直线3x-4y+5=0垂直。

解（2）：将（1）中所设的方程变为：

解得：

由已知：

故所求得方程是：

4x+3y-6=0

小 结:

本题采用先用直线系方程表示所

利用待定系数法来求解.

函数或曲线类型问题中,我们都可以

这种方法称之为待定系数法,在已知

待定常数,从而最终求得问题的解.

求直线方程,然后再列式,求出方程的

练 习 1

一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：

y=x

2x+3y-2=0

4x-3y-6=0

x+2y-11=0

5．若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0

求证：无论m为何值时，所给直线恒过定点。

解:

将方程化为:

得:

解得:

所以无论m为何值,直线均经过定点(4,9/2)

两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程,

如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得:

x2 +xy-2y2-x+y=0

那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由

两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这

两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们.

请看下面的例子:

例3:问k为何值时，方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0

表示两条直线？

解（待定系数法）：将方程化作：

设：

则

所以：

解得：

即：k= -6 时方程表示两条直线。

1．方程x2-y2=0表示的图形是：————

2．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线

系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是

_______.

练 习

垂直

3.方程 表示两条直线，

求m的取值范围。

解:

方程应有非负根,故:

所以

2

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制作人：

资料： 何志开

编辑： 唐秋明

2000年10月20日