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直 线 与 圆

位 置 关 系

2001.12.

【基础知识】

1.点与圆的位置关系:

2.直线与圆的位置关系:

3.圆与圆的位置关系:

→求切线方程等

→求弦长等

【复习目标】

1.掌握直线与圆的位置关系判别,会解直

线与圆有关的问题.

2.会判别圆与圆的位置关系.

O

A

B

x

y

得∠AOB=2∠MOA=600

3.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距

离等于1,则半径r的取值范围是________.

5.两圆x2+y2=4, x2+y2-4x-2y-6=0的公共弦所在的直线方程是__,

公共弦长为__________.

解:

x

y

O

得A,B 两点满足方程:2x+y+1=0

公共弦长|AB|=

圆方程为 (x-2)2+(y-1)2=11

6.(P137巩2)直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则M(a,b)与圆的位

置关系是_________.

∴M点在圆外.

即|MO|>1

※点M(x0,y0)、直线L:x0x+y0y=r2、圆 C:x2+y2=r2.当M点变化

时L与C 的位置关系.

※点M(x0,y0)、直线L:x0x+y0y=r2、圆C:x2+y2=r2.当M点变化

时L与C 的位置关系.

x

y

O

.M

※M点圆上时 d=r → L与圆相切

※M点圆外时 d

※M点圆内时 d>r → L与圆相离

※点M(x0,y0) 在圆C:x2+y2=r2 外,则直线L:x0x+y0y=r2与圆C 的

相交,且L为过如图两切点A 、B 的直线.

解:设A(x1,y1),B(x2,y2)

则MA: x1x+y1y=r2, MB: x2x+y2y=r2

得x0x1+y0y1=r2, x0x2+y0y2=r2

知A(x1,y1) B(x2,y2)坐标满足方程x0x+y0y=r2

得过A、B两点的直线方程为x0x+y0y=r2

x2+y2 的取值范围是_______.

则直线y=kx与圆(x-2)2+y2=3有公共点

x+2y 的取值范围是________;

(2) 解:设x+2y=m

则直线x+2y-m=0与圆(x-2)2+y2=3有公共点

. C

[ a, b ]

9.自点A(-3,3)发出的光线L射到x 轴上,反射后,其反射光线与圆

x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在的直线方程.

解一:圆(x-2)2+(y-2)2=1, A点关于x 轴

的对称点A1坐标为(-3,-3)

设反射光线所在直线L1方程为:

y+3=k(x+3)即:kx-y+3k-3=0

∴L1的方程为:4x-3y+3=0 or 3x-4y-2=0

∴L的方程为:4x+3y+3=0 or 3x+4y-2=0

9.自点A(-3,3)发出的光线L射到x 轴上,反射后,其反射光线与

圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在的直线方程.

解二:圆(x-2)2+(y-2)2=1关于 x 轴对

称的圆C1 的方程为(x-2)2+(y+2)2=1

则L与圆C1相切

设L方程为: y-3=k(x+3)

即:kx-y+3k+3=0

∴L的方程为:4x+3y+3=0 or 3x+4y-2=0

10.已知圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,直线L:x+y-9=0,过直线L上一点A

作∠BAC=450, 其中边AB过圆心M,且B、C 两点在圆上.

(1)当A点的横坐标为 4 时,求直线AC的方程.

L

A点坐标为(4,5)

∴AC的方程为: 5x+y-25=0 or x-5y+21=0

检验方程的直线是否与圆有公共点

10.已知圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,直线L:x+y-9=0,过直线L上一点A

作∠BAC=450, 其中边AB过圆心M,且B、C 两点在圆上.

(2)求A点横坐标的取值范围.

动画

M .

A

B

C

L

x

y

O

设圆心M到AC距离为d

由AC与圆M有公共点知:d≤R

∴(t-2)2+(7-t)2≤17

即:3≤t≤6

∴t 的取值范围是[ 3, 6 ]

※有关直线 ( 圆 ) 与圆位置关系的问题 ,一般总是通过圆心到

直线( 圆心距离)来解答问题.

※求过点的圆的切线方程

【小结】

→求切线段长度

※特殊地: 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的圆的切线方程

为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

如过点A(3,-1)作圆(x-1)2+y2=5切线,切线方程为(3 -1)(x-1) -y=5,即2x-y-7=0