2013～2014学年度下学期 期中联考

高二数学（理科）

命题学校：荆州中学 命题人：王书爽 审题人：鄢先进

本试卷共4页，共21题。满分150分。考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。

第I卷 选择题（共50分）

—、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．椭圆
的焦距比短轴长 ( )

A．
B．
C． D．

2．向量
＝
,
＝
，若
＝
, 且

，则
的值为( )

A．
B． C．
D．

3．下列选项中，说法正确的是( )

A．若命题“
”为真命题，则命题p和命题q均为真命题；

B．命题“若
，则
”的逆命题是真命题；

C．命题“若
，则
” 的否命题是真命题；

D．命题“若
为空间的一个基底，则
构成空间的另一个基底”的逆否命题为真命题；

4．一个质量为
的物体作直线运动，设运动距离（单位：）与时间（单位：）的关系可用函数
表示，并且物体的动能
，则物体开始运动后第时的动能是( )

A．

B．

C．

D．

5．下列命题中，真命题的是（ ）

A．
是
的必要不充分条件

B．
是
的充分不必要条件

C．
是
的充要条件

D．
是
的必要不充分条件

6．如图，已知二面角
为
，点
，
，
为垂足，点
，
，为垂足，且
，
，
，则
的长度为 ( )

A． B．

C．
D．

7．设双曲线C：
的离心率为，则斜率为
的直线与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．曲线
（为自然对数的底数）在点
处的切线
与轴、轴所围成的三角形的面积为（ ）

A．
B．
C． D．

9．抛物线
的焦点为，其准线经过双曲线
的左顶点，点
为这两条曲线的一个交点，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B． C．
D．

10．已知正方体
，点，，
分别是线段
，
和
上的动点，观察直线
与
，
与
．给出下列结论：

①对于任意给定的点，存在点，使得

；

②对于任意给定的点，存在点，使得

；

③对于任意给定的点，存在点
，使得

；

④对于任意给定的点
，存在点，使得

．

其中正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④

C．②③ D．②④

第II卷 非选择题（共100分）

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置.)

11．命题“
”的否定是 ．

12．右图是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2米，水面宽4米，

水位上升1米后，水面宽 米．

13．在空间直角坐标系中，点
，点
和点
构成的
的面积是 ．

14．为双曲线
右支上一点，为双曲线
的左焦点，点
则
的最小值为 .

15．已知
，
，且
，现给出如下结论：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确的序号）

三、解答题(本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.)

16．（本小题满分12分）

已知:“过定点
的动直线
恒与椭圆
有两个不同的公共点”；

：“函数
在上存在极值”；

若命题“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围．

17．（本小题满分12分）

如图，平行六面体
中，底面
是边长为1的正方形，
设
，
，

（1）试用
，
，
表示向量
、
；

（2）若
，求直线
与
所成的角.

18．（本小题满分12分）

在直角坐标平面内，动点
在轴的左侧，且点
到定点
的距离与到轴的距离之差为.

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）若过点
的直线
与曲线
交于
两点，且点恰好是
的中点，求线段
的长度.

19．（本小题满分12分）

已知函数
，为常数．（1）若
，求函数
在
上的值域；（为自然对数的底数，
）

（2）若函数
在
上为单调减函数，求实数的取值范围．

20．(本题满分为13分)

如图，已知矩形
中，
,
为
的中点. 将
沿
折起，使得平面
平面
.

（1）求证：
；

（2）求
与平面
所成的角的正弦值；

（3）若点是线段
上的一动点，问点E在何位置时，二面角
的余弦值为
.

21．（本小题满分14分）

在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径.如图，已知椭圆

的左、右焦点分别为
，其离心率为
，通径长为
.

（1）求椭圆的方程；

（2）过
的动直线
交椭圆于
两点，

（ⅰ）问在轴上是否存在定点
，使
恒为常数？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由.

（ⅱ）延长
交椭圆于点
，
分别为
、
的内心，证明四边形
与
的面积的比值恒为定值，并求出这个定值.

2013～2014学年度下学期 期中联考

高二数学试题（理科）参考答案

命题学校：荆州中学 命题人：王书爽 审题人：鄢先进

选择题

1-5：DCDCD 6-10：BCBAC

填空题

11、
12、
13、
14、8 15、②③⑥

三、解答题

16、解：若为真，

则直线过的定点
必在椭圆内部，即
…3分

若为真，则
有两个相异的实数根，

即得
或
…………6分

由且为假，或为真得：
或
…………10分

实数的取值范围
或
…………12分

17、解：（1）由向量的加减运算法则知：

…………4分

（2）由题意

…………7分

…………10分

即
与
所成的角为
…………12分

18、解： （1）依题意有：
…………2分

平方化简得：

∴M点的轨迹方程为
…………4分

（2）设
则
，

即
…………8分

即线段
的长度为8 …………12分

19、 解：（1）由题意
，

当
时，

在
为减函数，
为增函数 …………4分

又
比较可得

的值域为
…………6分

（2）由题意得
在
恒成立

恒成立 …………8分

设

当
时
恒成立

即实数的取值范围是
…………12分

20、解：（1）由面
平面
.，

又在矩形
中，连接
知
，

面
平面
=
，

面
，
…………4分

（2）解法一：作
交
的延长线于

由（1）知
面
，连

则
为所求的线面角

;