高二下学期期中考试数学（理）试题

一．选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1. 已知函数
，则函数
的导函数为 （ ）

A.
B.
C.
D.

2. 若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　 　)

A．1 B. C. D.

3. 函数
的极值点的个数是 （ ）

A.2 B.1 C.0 D.由a确定

4. 设
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若
，
，则
②若
，
，
，则

③若
，
，
，则
④若
，
，
，则

正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

5、已知点
，
则线段AB的中点
的坐标为 （ ）

A.
B.
C.
D.

6.“函数
在R上是增函数”是“
”的 （ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是 （ ）

A．(-1,2) B．(-∞,-3)∪(6,+∞) C．(-3,6) D．(-∞,-1)∪(2,+∞)

8. 已知函数
满足
，且
的导函数
，则
的解集为

A.
B.
C.
D.

9. 若a＞0，b＞0，且函数
在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )

A．2 B． 9 C．6 D．3

10已知原命题：“若
，则关于的方程
有实根，”下列结论中正确的是（ ）

A．原命题和逆否命题都是假命题 B．原命题和逆否命题都是真命题

C．原命题是真命题，逆否命题是假命题 D．原命题是假命题，逆否命题是真命题

12. 如图，
为正四面体，
于点，点
均在平面外，且在平面的同一侧，线段
的中点为,则直线
与平面所成角的正弦值为 （ ）

A．
B．
C.
D.

二．填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13函数
的单调递减区间为____________.

14. 点P在正方体
的面对角线
上运动，则下列四个命题：

①三棱锥
的体积不变；②
∥平面
；

③
；④平面
平面
.其中正确的命题序号是 .

15. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为

16. 已知函数
有零点，则的取值范围是

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17.（本小题满分10分）

设：
，：

，且
是
的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18．（本小题满分12分）求函数
在
上的最大值与最小值

19. (本小题满分12分) 如图，已知四棱锥
中，
平面
，底面
是直角梯形，且
.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）若
是
的中点，求三棱锥
的体积.

20. (本小题满分12分)已知函数

.

(Ⅰ)当
时,求曲线
在点
的切线方程;

(Ⅱ)讨论函数
的单调性.

21、（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC

（Ⅰ）证明；
平面BED

（Ⅱ）求二面角A1-DE-B的大小

2013-2014学年度第二学期期中考试

高二 数学（理工类）答题卡

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























二、填空题:本大共4小题,每小题5分,共20分。

13．___________ 14. ____________ 15._____________ 16.________________

三、解答题：

17. (12分)

1８. (10分)

19. (12分)

20. (12分)

21 (12分)

22 (12分)

答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

C

D

B

B

B

D

B

B

D

A



13.(0,1] 14、（1）（2）（4） 15、 16、

17.

18. 最大值是4，最小值是
。

19. 解:（1）底面
是直角梯形，且
,

， ……… 1分

又
平面
………… 2分

平面
………… 3分

∴
∥平面
………… 4分

（2）
，
，

…………… 5分

则

∴
………… 6分

平面
，
平面

∴
………… 7分

又
…………8分

∴
平面
………… 9分

（3）在直角梯形
中，过
作
于点，

则四边形
为矩形，
………… 10分

在
中可得

故
……… 11分

∵
是
中点，

∴
到面
的距离是到面
距离的一半 ………… 12分

∴
…………14分

当变化时,
,
的变化情况如下:

此时,
在区间
单调递减,在区间
上单调递增;

(3)当
时,令
,得
,
(舍去),

当变化时,
,
的变化情况如下:

此时,
在区间
单调递减,在区间
上单调递增

21. 解法一：依题设，

（Ι）连结AC交BD于点F，则BD⊥AC。

由在三垂线定理知，BD⊥A1C ……3分

在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G，

由于

故
∽
互余。于是A1C⊥EF。

A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直，

所以A1C⊥平面BED。 ……6分

解法二：

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D－xyz.

依题设，B（2，2，0，）C（0，2，0）E（0，2，1）A1（2，0，4）.

= （0，2，1）
= （2，2，0，）,

=（－2，2，－4）
=（2，0，4）……3分

（Ⅰ）因为
·
=
·
=0，

故

又

所以
平面DBE.

22.解：（1）∵
，∴
．

∵
在
上是增函数，

∴
≥0在
上恒成立，即≤
在
上恒成立．

令
，则≤
．

∵
在
上是增函数，∴
．

∴≤1．所以实数的取值范围为
．

③若
，则
，即
在
上恒成立，此时
在
上是减函数．

所以
，所以
．