高二下学期期末考试数学（理）试题

考试时间：7: 40~9:40 满分：150分

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中,只有一个选项是符合题目要求的.）

1.已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．(1，3) C．(1，
) D．(3，
)

2．若复数
（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）

A．－2 B．4 C．－6 D．6

3．已知命题：“
”，命题：“
”．

若命题“且”是真命题，则实数的取值范围为（ ）

A．
或
B．
或

C．
D．

4.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( 　)

A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞) D．(－1,0)

5.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　 )

A．1 B．1＋a

C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3

6.曲线y＝－在点M 处的切线的斜率为(　 　)

A．－ B. C．－ D.

7.由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　 　)

A. B. C. D.

8．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝( 　)

A.－ B.－ C. D.

9.如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( 　)

A. B. C. D.

10.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　 　)

A．1 B. C. D.

11. 幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝(　 　)

A．1 B．2 C．3 D．无法确定

12.已知
符号
表示不超过
的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则
的取值范围是（ ）

A．
　　　　B．
C．
D．

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）

13．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递增区间是________．

14. 已知复数z＝，则|z|＝________．

15．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.

16.设函数f(x)＝(x>0)

观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，

f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.

解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

17. （本题满分10分）.已知圆的极坐标方程为：
.

（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；

（Ⅱ）若点
在该圆上，求
的最大值和最小值.

18. （本题满分12分）设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的极值．

19．（本题满分12分） 已知曲线
：
（为参数），
：
（
为参数）．

（Ⅰ）化
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）若
上的点对应的参数为
，
为
上的动点，求
中点
到直线
：
（为参数）距离的最小值．

20. （本题满分12分）在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋

|y－x|.

（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列．

21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，且
，
，侧面
底面
. 若
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）侧棱
上是否存在点，使得
平面
？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

22.（本小题满分12分）已知函数

(Ⅰ)试判断函数
的单调性；

(Ⅱ)设
，求
在
上的最大值；

(Ⅲ)试证明：对
，不等式
.

哈四中2015届高二下学期期末考试

数学（理）答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中,只有一个选项是符合题目要求的.）

18.解　(1)a＝3. b＝－12. ………………6分

(2)函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，

在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6. ………………12分

两式平方相加消去参数
，得曲线
的普通方程为：．
为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．………………6分

（Ⅱ）因为
上的点对应的参数为
，故
，又
为
上的点，所以
，故
中点为
．

故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为.(6分)

(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.

∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，

ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，

ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况．

ξ＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．

∴P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，

P(ξ＝3)＝.(10分)

则随机变量ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3



P











(12分)

21. （Ⅰ）因为
，所以
.

又因为侧面
底面
，且侧面
底面
，

所以
底面
.

而
底面
，

所以

.

在底面
中，因为
，
，

所以
， 所以

.

又因为
， 所以
平面
. ……………………………4分

（Ⅱ）在
上存在中点，使得
平面
，

证明如下：设
的中点是，

连结
，
，
，

则
，且
.

由已知
，

所以
. 又
，

所以
，且
，

所以四边形
为平行四边形，所以
.

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ……………8分

（Ⅲ）由已知，
平面
，所以

为平面
的一个法向量.

由（Ⅱ）知，
为平面
的一个法向量.

设二面角
的大小为
，由图可知，
为锐角，

所以.

即二面角
的余弦值为
. ………………………………12分

22．解：（I）函数
的定义域是：

由已知
………………………………1分

令
得，
，

当
时，
，当
时，

函数
在
上单调递增，在
上单调递减…………………3分

即对
，不等式
恒成立；…………………………12分