2014-2015学年上期湖南省岳阳市部分重点高中联考高二段考理科数学试卷数 学（理科）

时量：120分钟 总分：150分

命题人：周兴国 审题人：彭小霞

一、选择题(每小题5分,共50分)

1. 某单位有老年人28 人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们身体状况的某项指标, 需从他们中间抽取一个容量为36样本,则老年人、中年人、青年人各抽取的人数是( )

A. 7;12;17 B. 7;11;19 C.6;13;17 D. 6;12;18

2. 双曲线：
的渐近线方程和离心率分别是 （ ）

A.B.

C.
D.

3.有四个游戏盘面积相等,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )

4. 下列各组向量中不平行的是（ ）

A
B

C
D

5. 盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.若命题
有实根，命题
函数
是增函数，若
为真，
为假，则的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5).若|
|=
，且
分别与
，
垂直，则向量
为(　 　)

A.(1，1，1) B.(-1，-1，-1)

C.(1，1，1)或(-1，-1，-1) D.(1，-1，1)或(-1，1，-1)

8. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　 　)

9. 已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2

A.
B.

C.
D.

10. 已知函数
，正数
满足
，且
，若实数
是方程
的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题(每小题5分,共25分)

11. 已知函数
，则
=

12. 已知F1、F2为椭圆
的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若
，则
= _____________

13. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________

14. 已知下列四个命题：

①命题“若α=
，则tanα=1”的逆否命题为假命题；

②命题p：?x∈R，sinx≤1，则p：?
∈R，使sin
>1；

③“φ=
+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件；

④命题p：“?
∈R，使sin
+cos
=
”；命题q：“若sinα>sinβ，则α>β”，那么(p)∧q为真命题.

其中正确命题的序号是_____________

15. 双曲线
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，则
的最小值为

三、解答题(本大题6个小题,满分75分)

16.(本题满分12分)设:实数满足
,
实数满足
.

(1)若
且
为真，求实数的取值范围；

(2)若其中
且
是的充分不必要条件,求实数的取值范围.

(本题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

18.(本题满分12分)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0

(1)写出月利润y与x的函数关系式；

(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．

19.(本题满分13分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

(1)证明AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.

20.(本题满分13分)设椭圆
(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．

21.(本题满分13分)已知函数
，
（
，且
），函数
在
处的切线与轴平行.

(1) 求实数的值；

(2) 讨论
的单调性；

(3) 当
时，
，
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

2014-2015学年上期湖南省岳阳市部分重点高中联考高二段考理科数学试卷数 学

时量：120分钟 总分：150分

命题人： 周兴国 审题人：彭小霞

一、选择题(每小题5分,共50分)

1. 某单位有老年人28 人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们身体状况的某项指标, 需从他们中间抽取一个容量为36样本,则老年人、中年人、青年人各抽取的人数是( D )

A. 7;12;17 B. 7;11;19 C.6;13;17 D. 6;12;18

2. 双曲线：
的渐近线方程和离心率分别是 （ B ）

A.B.

C.
D.

3.有四个游戏盘面积相等,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( A )

4. 下列各组向量中不平行的是（ D ）

A
B

C
D

5. 盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ C ）

A．
B．
C．
D．

6.若命题
有实根，命题
函数
是增函数，若
为真，
为假，则的取值范围是 （ B ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5).若|
|=
，且
分别与
，
垂直，则向量
为(　C 　)

A.(1，1，1) B.(-1，-1，-1)

C.(1，1，1)或(-1，-1，-1) D.(1，-1，1)或(-1，1，-1)

8. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　D 　)

9. 已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2

A.
B.

C.
D.

10. 已知函数
，正数
满足
，且
，若实数
是方程
的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（ A ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题(每小题5分,共25分)

11. 已知函数
，则
= 2

12. 已知F1、F2为椭圆
的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若
，则
= _____________ 8

13. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．60°

14. 已知下列四个命题：

①命题“若α=
，则tanα=1”的逆否命题为假命题；

②命题p：?x∈R，sinx≤1，则p：?
∈R，使sin
>1；

③“φ=
+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件；

④命题p：“?
∈R，使sin
+cos
=
”；命题q：“若sinα>sinβ，则α>β”，那么(p)∧q为真命题.

其中正确命题的序号是_____________②③

15. 双曲线
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，则
的最小值为

三、解答题(本大题6个小题,满分75分)

16.(本题满分12分)

设:实数满足
,
实数满足
.

(1)若
且
为真，求实数的取值范围；

(2)若其中
且
是的充分不必要条件,求实数的取值范围.

解:（1） 由
得

当
时，
,即为真时实数的取值范围是
.……………2分

由
, 得
, 得

即为真时实数的取值范围是
,……………4分

若
为真，则真且真，

所以实数的取值范围是
. ……………6分

(2) 由
得

是
的充分不必要条件，即


,且


, ……………8分

设A=
,B=
,则
,

又A=
=
, B=
={x|x≥4或x≤2}，……………10分

则
,且

所以实数的取值范围是
……………12分

(本题满分12分)

袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

【解】(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为
. （6分）

(2)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为
. （12分）

18.(本题满分12分)

高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0

(1)写出月利润y与x的函数关系式；

(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．

解：(1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x2)台，

则y＝a(1－x2)[6000(1＋x)－4500]，

即y＝1500a(－4x3－x2＋4x＋1)(0

(2)由(1)知y′＝1500a(－12x2－2x＋4)，

令y′＝0得，6x2＋x－2＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．

当00；当

故当x＝时，y取得最大值．此时销售价为6000×＝9000元．

故笔记本电脑的销售价为9000元/台时，该公司的月利润最大．

19.(本题满分13