考试时间：120分钟； 总分 150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知焦点在轴上的椭圆
的长轴长为8，则等于 （ ）

A．4 B．8 C． 10 D．16

2．实数
满足
，则
的最大值是（ ）

A．－1 B．0 C．3 D．4

3．下列说法正确的是（ ）

A.命题“x0∈R，x02＋x0＋1<0”的否定是：“ x∈R，x2＋x＋1>0”;

B.“x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分条件;

C.命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2=1，则x≠1;

D.命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题.

4．抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a的值为（ ）

（A）4 （B）
（C）
（D）－4

5．已知
是椭圆
的两个焦点，过
的直线与椭圆交于Ｍ、Ｎ两点，则
的周长为

Ａ. 16　　 Ｂ. 8　　　 Ｃ. 25　　　 Ｄ. 32

6．已知命题
，命题
,则（ ）

A．命题
是假命题 B．命题
是真命题

C．命题
是真命题 D．命题
是假命题

7．下列各函数中，最小值为的是 （ ）

A．
B．
，

C．
D．

8．不等式
对任意
恒成立，则实数的取值范围是

A
B．
C．
D．

9．已知
，椭圆
的方程为
，双曲线
的方程为
，
与
的离心率之积为
，则
的渐近线方程为( )

A.
B.
C.
D.

10．从椭圆
＋
＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )

A．
B．
C．
D．

11．.已知双曲线
的离心率为2，若抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离为2，则抛物线
的方程为

A.
B.
C.
D.

12．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点， PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是( )

(A)(
，+) (B)(
，+) (C)(
，+) (D)(0，+)

二、填空题（每题5分，共20分）

13．已知条件p：
，条件q：
，若p是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．

14．已知定点
在抛物线
的内部，为抛物线的焦点，点
在抛物线上，
的最小值为4，则= ．

15．设是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
，
分别是双曲线的左、右焦点，若
，则
的值为　　　　　．

三、解答题（17题10分18——22各12分，共70分）

17．（10分）已知函数f(x)＝
，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

解：(1)由a＝4，∴f(x)＝
＝x＋
＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，f(x)min＝6…………………………………………(4分)

(2)x∈[1，＋∞)，
>0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a>0恒成立．

等价于a>－x2－2x，当x∈[1，＋∞)时恒成立，

令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，

∴a>g(x)max＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a的取值范围是
.………………(10分)

18．（12分）抛物线的顶点在原点，它的准线过双
曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为
，求抛物线的方程和双曲线的方程.

解：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点
，

所以可设其方程为

∴=2 所以所求的抛物线方程为
…………………(6分)

所以所求双曲线的一个焦点为（1， 0），所以c=1，

设所求的双曲线方程为

而点
在双曲线上，所以

解得

所以所求的双曲线方程为
…………………(12分)

19．（12分）设:实数满足
,其中
,

:实数满足
．

（1）若
且
为真，求实数的取值范围；

（2）若
是
的充分不必要条件,求实数的取值范围．

21．（12分） 设
、
分别是椭圆
的左、右焦点，
．

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求
的最大值和最小值;

（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且
，求的值；

22．（12分）椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为
,倾斜角为
的直线
过点.

（1）求该椭圆的方程；

（2）设椭圆的另一个焦点为
,问抛物线
上是否存在一点
,使得
与
关于直线
对称,若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.

解：(1)由a＝4，∴f(x)＝
＝x＋
＋2≥6，当x＝2时，取得等号．即当x＝2时，f (x)min＝6…………………………………………(4分)

(2)x∈[1，＋∞)，
>0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a>0恒成立．

18．

解：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点
，

所以可设其方程为

∴=2 所以所求的抛物线方程为
…………………(6分)

所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c=1，

设所求的双曲线方程为

而点
在双曲线上，所以

19．

解：由
得
，

又
,所以
,

当
时，1<
,即为真时实数的取值范围是1<
．

由
,得
,即为真时实数的取值范围是
．

若
为真，则真且真，所以实数的取值范围是
．…………………(6分)

（Ⅱ）
是
的充分不必要条件，即


,且


,

设A=
,B=
,则
, 9分

又A=
=
, B=
=
}，

则0<
,且
所以实数的取值范围是
． …………………(12分)

20．

解：（1）由题意，动圆圆心到点A的距离与到直线
的距离相等，所以动圆圆心的轨迹为A为焦点，以
为准线的抛物线，其方程为
；……………(6分)

（2）设M的坐标为
，由题意知
，所以
；代入抛物线方程得，
，所以
………………(12分)

21． 解：

因为
，故当
，即点为椭圆短轴端点时，
有最小值

当
，即点为椭圆长轴端点时，
有最大值 …………………(6分)

（Ⅱ）设C（
），

由
得

，

又
所以有
解得
………………(12分)

22．解：

解：（1）抛物线
的焦点为
,准线方程为
,

∴
①

由①代入②得
,解得
或
（舍去）,

从而

∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为
…………………(6分)

（2）∵ 倾斜角为
的直线
过点,

∴ 直线
的方程为
,即
,

由（1）知椭圆的另一个焦点为
,设
与
关于直线
对称,

则得
……10分 解得
,即

又
满足
,故点
在抛物线上。

所以抛物线
上存在一点
,使得
与
关于直线
对称。…………(12分)