2015.2

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

1.已知命题：
，函数
是单调函数，则
： （ ）

A.
，函数
不一定是单调函数 B.
，函数
不是单调函数

C.
函数
不一定是单调函数 D.
函数
不是单调函数

2.
顶点
，则“方程
”是“
边上中线方程”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知数列
是等比数列，命题
“若公比
，则数列
是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为 （ ）

A. B. C. D.

4.在相距
的
两点处测量目标点
，若
,
，则
两点之间的距离为 （ ）

A.
B.
C.
D.

5.已知
是首项为
的等比数列，
是其前项和，且
,则数列
前
项和为 ( )

A.
B.
C.
D.

6.已知双曲线

的焦距为
,点
在
的渐近线上,则
的方程为（ ）

A.

B.

C.

D.

7.已知长方体
，下列向量的数量积一定不为的是 （ ）

A.

B.

C.

D.

8.若变量
满足约束条件
且
的最小值为
，则
( ）

A. B.
C.
D.

9.已知四面体
各棱长为，
是棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值 （ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知椭圆的左焦点为
，右焦点为
.若椭圆上存在一点，满足线段
相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段
的中点，则该椭圆的离心率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．

11.不等式
的解集为 .

12.已知正方体
的棱长为，设
，则

．

13.已知等差数列
中，满足
，且
，
是其前项和，若
取得最大值，则= ．

14.在直三棱柱
中，底面是边长为的正三角形，
则直线
与侧面
所成角的正切值为 .

15.下列四种说法：

①垂直于同一平面的所有向量一定共面；

②等差数列
中，
成等比数列，则公比为
；

③已知
，则
的最小值为
；

④在
中，已知
，则
.

正确的序号有 .

二、解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，已知
.

（Ⅰ） 求角的大小；

（Ⅱ） 若
，求△
的面积.

17.（本小题满分12分）

已知命题:在上定义运算
：
不等式
对任意实数恒成立；命题
：若不等式
对任意的
恒成立．若
为假命题，
为真命题，求实数的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知抛物线
的顶点在坐标原点
，对称轴为轴，焦点为,抛物线上一点的横坐标为，且
.

（Ⅰ）求此抛物线
的方程；

（Ⅱ）过点
做直线
交抛物线
于
两点,求证：
.

19.（本小题满分12分）

如图，已知
平面
是正三角形，
.

（Ⅰ）在线段
上是否存在一点，使
平面
?

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

20. （本小题满分13分）

已知数列
的前项和
，满足
为常数，且
，且
是
与
的等差中项.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
.

21.（本小题满分14分）

已知椭圆
上的点到左右两焦点
的距离之和为
，离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过右焦点
的直线交椭圆于
两点.

（1）若轴上一点
满足
，求直线斜率的值；

（2）是否存在这样的直线，使
的最大值为
（其中
为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由.

高二理数学参考答案 2015.2

三、

16.解：（Ⅰ）由已知得
,

即有
, ……2分

，
，
，
……4分

，
. …6分

（Ⅱ）由
，

，
， ……10分

. ……12分

17.解：由题意知，

若命题为真，
对任意实数恒成立，……………1分

①当
即
时，
恒成立，
； ……………2分

②当
时，
，
，……………3分

综合①②得，
………………4分

若命题
为真，
，
，

则有
对任意的
恒成立 ， ………5分

即
对任意的
恒成立，

令
，只需
， ………6分

，当且仅当
即
时取“=”

………8分

为假命题，
为真命题，
中必有一个真命题，一个假命题，………9分

（1）若为真
为假，则
，
， ………10分

（2）若为假
为真，则
，
， ………11分

综上：
………12分

18解：（Ⅰ）设
，点
，则有
……………1分

…………3分

，所以抛物线
的方程为
. ……………5分

（Ⅱ）当直线
斜率不存在时，此时
，解得

满足
…………7分

当直线
斜率存在时，设
，

联立方程

设
，则
…………9分

……………11分

综上，
成立. ……………12分

19．（Ⅰ）当为
的中点时，
平面
…1分

证明：取
的中点、
的中点
，连结

是平行四边形…………3分

又
平面
平面

平面
……………4分

（Ⅱ）

平面

平面
…………6分

平面
平面
平面
…7分

（Ⅲ） 方法1向量法：以
所在射线分别为
轴，以垂直于
所在线为轴建立直角坐标系，如图.

设
，

设平面
的法向量为

……9分

设平面
的法向量

…10分

所以二面角
的余弦值为
. …………12分

方法2几何法

，
，

,
平面

过
作
，连结
，则

则
为二面角
的平面角 ………9分

设
，则
在
中，

又

在
中，由
得
,…10分

在
中，
,……11分

二面角
的余弦值为
…………12分

(1)-(2)得：

…………12分

…………13分

21.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
，∴