2013～2014学年度第一学期第一次单元检测

高三数学（文）试题

选择题共60分

1. 若集合M=｛y| y=
｝，P=｛y| y=
｝， 则M∩P= （ ）

A｛y| y>1｝ B｛y| y≥1｝ C｛y| y>0｝ D｛y| y≥0｝

2. 设命题甲:
的解集是实数集R;命题乙:
,则命题甲是命题乙成立的 ( )

A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

3.若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 (　　)

A．(－1,1) B．(－2,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.函数
的单调递增区间是 （ ）

A.
B.
C.
D.
[来源:Zxxk.Com]

6.已知a>0且a≠1，函数
，
，
在同一坐标系中的图象可能是（ ）

A B C D

7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)．

A. B. C. D.

8．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y＝sinx，则(　　)

A．ω＝2，φ＝　　　　 B．ω＝2，φ＝－

C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝

9．已知tanα＝2，则＝(　　)

A. B．－ C. D.

10如图，在△
中，
是边
上的点，且
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

11.在
中，
，则A的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

12． 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离(　　)

A．10海里
B．10海里

C．20海里 D．20海里

二、选择题共15分

13． 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

14． 若f(x)＝，0

15. 如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA

＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．

16．对于函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1(x∈R)给出下列命题：①
f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在区间[，]上是减函数；③直线x＝是f(x)
的图像的一条对称轴；④f(x)的图像可以由函数y＝sin2x的图像向左平移而得到．其中正确命题的序号是________(
把你认为正确的都填上)．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. （12分）（1）已知集合A
，B=
，且
，求实数
的值组成的集合。

（2）设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足

若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

18． (12分)已知函数f(x)＝2sincos－sin(x＋π)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．

[来源:Z|xx|k.Com]

19.在△ABC中，角
的对边分别是
，已知
.

求
的值；

若
，求边
的值.

20.在
中，内角
的对边分别为
.已知
.

求
的值；

若
，
的周长为
5，求
的长.

21.已知：函数
.

(1)试讨论函数
的单调性；

(2)若
，且
在
上的最大值为
，最小值为
，令
，求
的表达式.

22.设函数
，
.[来源:学科网ZXXK]

（1）若
，求函数
在
上的最小值；

（2）若函数
在
上存在单调递增区间，试求实数
的取值范围；

（3）求函数
的极值点.

20
13～2014学年度第一学期第一次单元检测

数学（文）答案

一、选择题：

C B C A D C A B D D C A

二、填空题

13．答案　－1 14．答案　f(a)

15. 答案　8 16．[答案]　②③

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（1）

①
；-------------------------------------------2分

②
时，由

-----------4分

所以适合题意的
的集合为

---------------------------------6分

(2)p是q的必要不充分条件，即q?p且p
q，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A
B，

又B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)； -------------8分

a<0时，A＝(3a，a)．

所以当a>0时，有解得1

当a<0时，显然A∩B＝?，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是1

18.解　(1)因为f(x)＝sin＋sin x[来源:学,科,网Z,X,X,K]

＝cos x＋sin x＝2＝2sin， --------6分

所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，

∴g(x)＝f＝2si
n[＋]

＝2sin ---------------------8分

∵x∈[0，π]，∴x＋∈，

∴当
x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.

当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1. ------------------12分

19.解：（1）已知

整理即有：

又C为
中的角，

--------------------------- ------------6分

（2）

由（1）中有
及
得
，

又
，

-------------------------12分

20.解（1)由正弦定理得



所以
=
,

即
,即有
,即
,所以
=2. -----------------6分

(2)由(1)知
=2,所以有
,即
,又因为
的周长为5,所以
=5-3
,

由余弦定理得：
，即
，

解得
=1，所以
=2. -------------
------12分

21．解：（1）当
时，函数
在
上为减函数；

当
时，抛物线
开口向上，对称轴为

∴函数
在
上为减函数，在
上为增函数

当
，抛物线
开口向下，对称轴为

∴函数
在
上为增函数，在
上为减函数.

（2）∵

由
得
∴
.

当
，即
时，

，故
；

当
，即
时，

，故
.

∴
.

22（1）
的定义域为
.

因为
，所以
在
上是增函数，

当
时，
取得最小值
.

所以
在
上的最小值
为1. -----------------------4分

（2）
，

设
，

依题意，在区间
上存在子区间使得不等式
成立.

注意到抛物线
开口向上，所以只要
，或
即可.

由
，即
，得
，

由
，即
，得
，

所以
，

所以实数
的取值范围是
. ----------------------------------8分

解法二：
，

依题意得，在区间
上存在子区间使不等式
成立.

又因为
，所以
.

设
，所以
小于函数
在区间
的最大值.

又因为
，

由
解得
；

由
解得
.

所以函数
在区间
上递增，在区间
上递减.

所以函数
在
，或
处取得最大值.

又
，
，所以
，

所以实数
的取值范围
是
.

（3）因为
，令

①显然，当
时，在
上
恒成立，这时
，此时，函数
没有极值点；

②当
时，

（ⅰ）当
，即
时，在
上
恒成立，这时
，此时，函数
没有极值点；

（ⅱ）当
，即
时，

易知，当
时，
，这时
；

当
或
时，
，这时
；

所以，当
时，
是函数
的极大值点；
是函数
的极小值点.

综上，当
时，函数
没有极值点；

当
时，
是函数
的极大值点；

是函数
的极小值点. -----------------------14分