2014年高三校际联合检测

文 科 数 学

2014.5

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。满分150分．考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第II卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：
，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；
，其中R为球的半径.

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集
等于

A.
B.
C.
D.

2.如果复数
的实部和虚部互为相反数，那么b等于

A.
B.
C.
D.

3.在
中，角A，B，C的对边分别为
若
，则角B的值为

A.
B.
C.
D.

4.设
，则“
”是“
”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.设双曲线
的离心率为
，且直线
（c是双曲线的半焦距）与抛物线
的准线重合，则此双曲线的方程为

A.
B.
C.
D.

6.函数
的部分图象大致为

7.角顶点在坐标原点O，始边轴的非负半轴重合，点P在的终边上，点
，且
夹角的余弦值为

A.
B.
C.
D.

8.已知P，Q为圆
：
上的任意两点，且
，若线段PQ的中点组成的区域为M，在圆O内任取一点，则该点落在区域M内的概率为

A.
B.
C.
D.

9.三棱锥
及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为

A.

B.

C.

D.

10.设
是定义在R上的偶函数，且
时，
，若在区间
内关于的方程

A.
B.
C.
D.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知直线
过点
，则
的最小值为_______________.

12.阅读如图所示的程序框图，若输入
，则输出的k值为____________.

13.已知变量
满足约束条件
的最大值为5，且k为负整数，则k=____________.

14.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为
，外接圆面积为
，则
.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为
，外接球体积为
，则
=___________.

15.已知函数
，则函数
的零点个数为___________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

已知函数
的部分图象如图所示.

（I）求函数
的解析式，并写出
的单调减区间；

（II）已知
的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且
的值.

17.（本小题满分12分）

某中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试，学校从测试合格的学生中随机抽取100人的成绩进行统计分析.抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：

成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人.

（I）若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值；

（II）若样本中
，求在地理成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.

18.（本小题满分12分）

已知等差数列
的首项
，公差
，数列
是等比数列，且
.

（I）求数列
和
的通项公式；

（II）设数列
对任意正整数n，均有
成立，求
的值.

19.（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，
，四边形ACFE是矩形，且平面
平面ABCD，点M在线段EF上.

（I）求证：
平面ACFE；

（II）当EM为何值时，AM//平面BDF？证明你的结论.

20.（本小题满分13分）

已知函数
.

（I）当
时，设
.讨论函数
的单调性；

（II）证明当
.

21.（本小题满分14分）

已知椭圆
过点
，且离心率
.

（I）求椭圆C的方程；

（II）已知过点
的直线
与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线
上是否存在点P，使得
是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2014年高三校际联合检测

文科数学参考答案及评分标准2014-5

说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。

一、选择题：每小题5分，共50分.

CCAAD ACBBD

（1）解析：答案：C.由已知，得
，所以

选C.

（2）解析：答案：C.因为
，且实部和虚部都互为相反数，所以
选C.

（3）解析：答案：A.由余弦定理，得
，即
，由
，知角
.

（4）解析：答案：A.若
，则知
即
所以
即
；令
，满足
，但
.所以
是
的充分而不必要条件.

（5）解析：答案：D.由已知，
即
①

抛物线
的准线方程为
，由题意，
，
，②

由①②，解得

所以
此双曲线的方程为
.

（6）解析:答案A. 函数
是奇函数,排除BD;当
时,
,排除C.

（7）解析：答案：C.由题意，设角终边上点的坐标为
，所以

（8）解析：答案：B.设为弦
的中点，如图所示，由
，知

，所以
中点组成的区域为
是由圆

与圆
组成的圆环，所以在
内部

任取一点落在
内的概率为
，故选．

（9）解析：答案：B.由三棱锥的正视图和侧视图知，底面
是等腰三角形，底边
，高为
，所以腰长
，在
中，

（10）解析：答案：D.由
，得
，又
是定义在上的偶函数，所以
，即
，则函数
是以4为周期的函数，结合题意画出函数
在
上的图象与函数
的图象，结合图象分析可知，要使
与
的图象有4个不同的交点，则有
由此解得
，即的取值范围是
.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）4；（12）；（13）
；（14）
；（15）
．

（11）解析：答案4.由已知
，
即
等号成立当且仅当“
”时.

（12）解析：答案.当
时，
，
时，
，
时，
，

∴输出的
值为.

（13）解析：答案：
.利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:其中点

根据线性规划知识可得，目标函数的最优解

必在点处取得，由

所以
.

（14）解析：答案：
.设正四面体
的棱长为，高为
，四个面的面积为
，内切球半径为，外接球半径为，则由
，得
；

由相似三角形的性质，可求得
，所以

（15）解析：答案：
.函数
与
的图象，如图：

由图可以看出，函数

的零点有
个.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

（16）解：（Ⅰ）由周期
得

所以
……2分

当
时，
，可得

因为
所以
故
……………………4分

由图象可得
的单调递减区间为
………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
, 即
,

又角为锐角,∴
. …………8分

，
. ……………9分

…………10分

. ……12分

（17）解：（Ⅰ）由
，得
， …………3分

∵
∴
，

∴
，
； …………6分

（Ⅱ）由题意知
，且
，

∴满足条件的
有
,

共14组.

且每组出现的可能性相同. …………9分

其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有：

共6组. …………11分

∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为
. …………12分

（18）解：（Ⅰ）∵
，且
成等比数列，

∴
，解得，
， ……………………………………2分

∴
………………………………………4分

又∵
∴
………………………6分

（Ⅱ）∵
…
， ①

∴
，即
， ……………………………………………………7分

又
…+
， ②

①②，得
,

∴
，∴
，……………………………10分

则

……………………………12分

（19）解：（Ⅰ）在梯形