2014届高中毕业班联考试卷（三）

数学(文科)

本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分。时量120分钟，满分150分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若
，
，则

A.
B.
C.
D.

2.已知复数
(为虚数单位)，为的共轭复数，则

A.
B.
C. D.

3.“
”是“
且
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.下面四个命题中真命题的是

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的

抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在回归直线方程
＝0.4x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；

④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大.

A.①④ B.②④ C.①③ D.②③

5若实数、满足约束条件
，则函数
的最小值为

A.
B.
C. D.

6.右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是

A.
B.
C. D.

7.给出下列命题：①在区间
上，函数
，
，
，
中有三个是增

函数；②若
，则
；③若函数
是奇函数，则
的图象关

于点
对称；④若函数
，则方程
有两个实数根.

其中正确命题的个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

8.若函数
存在极值，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11.已知直线
和曲线
的极坐标方程分别为
和

，则曲线
上的任一点到直线
的距离的最小值为 .























12.是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点，则弦

的长度大于或等于半径的概率为 .

13.若
，则
.

14.执行右图的程序，输出的正整数的值为 .

15.在平面直角坐标系中，若、两点同时满足：①点、都在

函数
图象上；②点、关于原点对称，则称点对

是函数
的一个“姐妹点对” （注：点对
与
为同一“姐妹点对”）.已知函数
，
.

⑴当
时，
有 个“姐妹点对”；

⑵当
有“姐妹点对”时，实数的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.

16.（本小题满分12分）

设函数
，
在
处取最小值.

(1)求的值；

(2)在
中，、、分别是角、、
的对边，已知
，
，
，

求
的值.

17.（本小题满分12分）

近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼

吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院50人进行了问卷调

查，得到如下的列联表：

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计



男

20

5

25



女

10

15

25



合计

30

20

50



⑴用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？

⑵在⑴中抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；

⑶为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量
，并回答有多大把握认为心肺疾病与性别

有关？

参考公式与临界值表：
，其中
.

0.1500

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





18.（本小题满分12分）

如图一，
是正三角形，
是等腰直角三角形，
.将
沿边
折起，

使得
与
成直二面角
，如图二，在二面角
中.

⑴求证：
；

⑵求、
之间的距离；

⑶求
与面
所成的角的正弦值.

19.（本小题满分13分）

已知数列
的相邻两项
、
是关于的方程

的两根，且
.

⑴求证: 数列
是等比数列；⑵设
是数列
的前项和，求
；

⑶是否存在常数
，使得
对任意
都成立，若存在，求出
的取值范围；若不

存在，请说明理由.

20.（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系
中，已知
、
分别是椭圆：

的左、右

焦点，、分别是椭圆的左、右顶点，且
.

⑴求椭圆的离心率；

⑵已知点
为线段
的中点，
为椭圆上的动点（异于点、），连接
并延长交

椭圆于点
，连接
、
并分别延长交椭圆于点、
，连接
，设直线
、

的斜率存在且分别为
、
，试问是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出
的

值；若不存在，说明理由.

21.（本大题满分13分）

设函数
,
的定义域分别为
，且
.若对于任意
，都有
，

则称
为
在
上的一个延拓函数.给定
.

⑴若
是
在
上的延拓函数，且
为奇函数，求
的解析式；

⑵设
为
在
上的任意一个延拓函数，且
是
上的单调函数.

(i)判断函数
在
上的单调性，并加以证明；

(ii)设
，
，证明：
.

2014届高中毕业班联考试卷(三)

数学(文科)参考答案及评分标准

，故选A.

9.C 解析：
，故选C.

10.B 解析：
，

，故选B.

11.
解析：
：
，
：
，
.

12.
解析：点的位置占圆周的三分之二，所要求的概率是
.

13.
解析：
，原式
.

14.29 解析：
，
，
.

15.⑴1 解析：

当
时，
，

；

当
时，
，

.

故两种情况的“姐妹点对”一样，答案只有一对.

⑵
解析：
.

16.解: (1)

，又

………………4分

(2)
，

，
……………6分

，又

，
……………9分

………12分

17.解：⑴男性应该抽取
人 ………4分

⑵在上述抽取的6名患者中, 女性的有2人，男性4人. 女性2人记
；男性4人为
.

则从6名患者任取2名的所有情况为:
、
、
、
、
、
、
、

、
、
、
、
、
、
、
共15种情况. ……6分

其中恰有1名女性情况有：
、
、
、
、
、
、
、

共8种情况. …………7分

故上述抽取的6人中选2人恰有一名女性的概率概率为
. …………8分

⑶
，且

有
的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系. …………12分

18.解:⑴面
面