注意事项：

1.本试卷共4页，总分150分。考试时长120分钟；

2.考生务必看清（文） 、（理）科题后，再作答；

3.考生务必将在答题卡上作答，在试卷上作答无效，考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共50分）

一 、选择题（共10小题，每题5分，共50分，单项选择）

1.已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2.在复平面内，复数
对应的点的坐标为

A．
B．
C．
D．

3. （理）设不等式组
表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

（文）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）

4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)．

A．
B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|

5. （理）定积分
的值为（ ）

（文）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）

6．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝
，则sin B＝(　　)．

A．
B．
C．
D．1

7.函数
的最小正周期是（ ）

8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)．

A．1 B．
C．
D．

9．双曲线x2－
＝1的离心率大于
的充分必要条件是(　　)．

A．m＞
B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2

10．设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面（ ）

A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥n,m⊥α,则n⊥α

C．若m∥α,m∥β,则α∥β D．若m∥α,α⊥β,则m⊥β

第二部分(非选择题　共100分)

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）．

11. (理)直线
被圆
截得的弦长为__________。

11．(文)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__________；准线方程为__________．

12. (理)已知函数
，若
，则
_____________。

12．(文)函数f(x)＝
的值域为__________．

13．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和Sn＝__________.

14．设D为不等式组
表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．

15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题）设
，且
，则
的最

小值为______.

B.（几何证明选做题）如图，
中，
，以
为直径的半圆分别交

于点
，若
，则
=_______.

C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，

点
到直线
的距离是_______.

三、解答题(共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)

16． (本小题共12分)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋
cos 4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

(2)若α∈
，且f(α)＝
，求α的值．

17.（本小题满分12分）

某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔偿金额（元）

0

1000

2000

3000

4000



车辆数（辆）

500

130

100

150

120



若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

在样本车辆中，车主是新司机的占
，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占
，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

18. （本小题满分12分）

的内角
所对的边分别为
.

（1）若
成等差数列，证明：
；

（2）若
成等比数列，且
，求
的值.

19． (本小题共12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)（理）平面BEF⊥平面PCD.

20.（本小题满分13分）

设函数
.

当
（为自然对数的底数）时，求
的最小值；

讨论函数
零点的个数；

（理）若对任意
恒成立，求的取值范围.

21. （理）(本小题共14分)已知椭圆
的一个顶点为
，离心率为
， 直线
与椭圆
交于不同的两点
。

（Ⅰ）求椭圆
的方程

（Ⅱ）当
的面积为
时，求
的值。

（文）（本小题14分）已知椭圆
经过点
，离心率为
，左右焦点分别为
.

求椭圆的方程；

若直线
与椭圆交于
两点，与以
为直径的圆交于
两点，且满足
，求直线
的方程.

2015届华清中学高三数学模拟考试

数学（一）答案

第一部分(选择题 共50分)

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

B

C

C

B

B

C

C

B





第二部分(非选择题 共100分)

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）

11．（理）
（文）2 x＝－1，；12．（理）2，（文）(－∞，2)；13．2 ，2n＋1－2； 14．
15.A
B.3 C.1

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）

所以f(x)的最小正周期为
，最大值为
.

(2)因为f(α)＝
，所以
.

因为α∈
，所以4α＋
∈
.

所以
.故
.

17. （1）

（2）

18.（1）

（2）

19．

证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，

所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE平面PAD，AD平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF.

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

20. （1）

（2）

（3）（理）

21.（理）

（文）（1）

（2）