2014-2015学年度上学期期中考试高三数学试卷（文）

考试时间：120分钟 试题分数：150分

第Ⅰ卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设全集
,集合
, 则集合
等于

A．
B.
C.
D.

2下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的是

3.在
中，内角A,B,C所对应的边分别为
，若
，则
的值为

4.已知三条不重合的直线
和两个不重合的平面
,下列命题正确的是

A. 若
B.

C．若
D． 若

5.已知平面直角坐标内的向量
，若该平面内不是所有的向量都能写成
（
的形式，则的值为

（A）
（B）
（C）3 （D）3

6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=

A. 31 B. 32 C. 63 D. 64

7．已知圆
和两点
，
，
，若圆
上存在点，使得
，则的最大值为

A.
B.
C.
D.

8 将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间
上单调递减 B．在区间
上单调递增

C．在区间
上单调递减 D．在区间
上单调递增

9已知实数
满足不等式组
，则
的取值范围为

（A）
（B）
（C）
（D）

10.下列命题正确的个数是

①命题“
”的否定是“
”：

②函数
的最小正周期为是a=1的必要不充分条件；

③
在
上恒成立

在
上恒成立；

④“平面向量
与
的夹角是钝角”的充分必要条件是“
”

A．1 B. 2 C. 3 D．4

11.点A，B，C，D在同一个球面上,
，AC=2，若球的表面积为
，则四面体ABCD体积最大值为

A．
B．
C.
D．2

12．已知点
在双曲线
上，直线
过坐标原点，且直线
、
的斜率之积为
，则双曲线的离心率为

A.
B.
C. D.

第Ⅱ卷

二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|，则= ．

14.某几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸（单位：m），该几何体的体积为 .

15.已知数列
，则数列
最小项是第 项.

16.已知关于的方程
有两个不同的实根
，且
，则实数= .

三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）“

等比数列
中，
，且
是
和
的等差中项，若

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和.

18．（本小题满分12分）

在
中，已知角A、B、C所对的边分别为
，直线
与直线
互相平行（其中
）.

（I）求角A的值。

（II）若
的取值范围.

19．（本题满分12分）

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．

(Ⅰ) 当
，是否在折叠后的AD上存在一点，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；

(Ⅱ) 设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥ACDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

20.（本小题满分12分）

平面内动点P(x，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连级的斜率之积等于
，若点P的轨迹为曲线E，，过点
作斜率不为零的直线
交曲线E于点
．

（Ⅰ）求曲线E的方程

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）求
面积的最大值．

21．(本小题满分l2分)

已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；

（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

（22）(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .

（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；

（Ⅱ）如果AD =AB = 2，求EB的长。

（23）(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程

在极坐标系内，已知曲线
的方程为
，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程为

（为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程以及曲线
的普通方程；

（Ⅱ）设点为曲线
上的动点，过点作曲线
的切线，求这条切线长的最小值

2014-2015学年度上学期期中考试

高三文科数学参考答案

一选择题 1-5 BADDC 6-10 CBBDB 11-12 CA

二 填空题 13
14
15 5 16 6

17.解：（1）由
解得：

……………………………………（6分）

（2）
-------------------------------12分

18

19．【解】(Ⅰ)存在使得满足条件CP∥平面ABEF，且此时．
……2分

下面证明：
，过点作MP∥FD，与AF交于点
，则有
，又FD＝
，故MP＝3，又因为EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP
EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以PC∥ME，又CP
平面ABEF，ME平面ABEF，故有CP∥平面ABEF成立．……………6分

(Ⅱ)因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF
平面EFDC＝EF，又AFEF，所以AF⊥平面EFDC．----------------8分

由已知BE＝x，，所以AF＝x(0x
4)，FD＝6x．故
．所以，当x＝3时，
有最大值，最大值为3． ---------------------------------12分

21．（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

即
解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.-------3分

（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)= 3x2－3=3(x+1)(x－1)，当－1

（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足
因
，故切线的斜

-------------------------------------12分

20解(Ⅰ) （1）设动点P坐标为
，当
时，由条件得：

，化简得

曲线E的方程为，
,
………………4分

（说明：不写
的扣1分）

（Ⅱ）
斜率不为0，所以可设
方程为
，与椭圆联立得：
设
， 所以
.……………………6分

，
，所以
…………………………………8分

（Ⅲ）
面积为
，…… 10分

当
时面积最大为…………………12分

（22）（Ⅰ）证：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC 由BC∥OD ?OD⊥AC

则OD是AC的中垂线? ∠OCA =∠OAC , ∠DCA =∠DAC ,

∠OCD = ∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO = 90o .

?OC⊥DE, 所以DE是圆O的切线 . ……5分

（Ⅱ）BC∥OD?∠CBA = ∠DOA，∠BCA = ∠DAO

?△ABC∽△AOD?
? BC =
=
=

?
?
?
? BE =
……10分

（23）解：（Ⅰ）对于曲线
的方程为
，

可化为直角坐标方程
，即
；

对于曲线
的参数方程为
（为参数），

可化为普通方程
. ……5分

（Ⅱ）过圆心
点作直线
的垂线，此时切线长最小，

则由点到直线的距离公式可知，

，

则切线长
……10分