说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1．已知集合
，


,则
=

A．
B．
C．
D．

2．已知角的终边经过点
，则cos=

A．
B．
C．
D．

3．在平面直角坐标系
中，已知
，
，若
，则实数的值为

A．2 B．4 C．5 D．8

4．设
是由正数组成的等比数列，且
，则
的

值是

A．20 B．10 C．5 D．2或4

5．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列命题中错误的是

A．若
,
, 则
B．若
,
,
, 则

C．若
,
,
, 则
D．若
,
,
, 则

6．若关于x的不等式 |x－1|

A．a1 B．a1 C．a3 D．a3

7．把函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再将图

象向右平移
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为

A．
B．
C．
D．

8．已知实数
满足不等式组
，若目标函数
取得最大值时

的唯一最优解为（1，3），则实数a的取值范围为

A．
B．（0,1） C．
D．

9．函数
的图象恒过定点，若点在直线
上，其中m，n均大于0，则
的最小值为

A．2 B．4 C．8 D．16

10．数列
中，
,Sn是数列
的前项

和，则S10=

A．682 B． 682 C．62 D． 62

11.如图，半径为
的扇形
的圆心角为
，点在

上，且
，若
，则

A．
B．
C．3 D．

12．已知定义域为的函数
满足
，且函数
在区间
上单调递增. 如果
，且
，则
的值

A．可正可负 B．恒大于0 C．可能为0 D．恒小于0

第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）

13．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为 ．

14．数列
满足
,则
________．

15．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间

几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面

积是 ．

16．若直角坐标平面内A,B两点满足条件：①点A,B都

在函数
的图象上；②点A,B关于原点对称，则

称
是函数
的一个“姊妹点对”（
与
可看作同一点对）．已知
，则
的“姊妹点对”有_____个．

三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.）

17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a， b，c．
，
，
．

（Ⅰ）求
的最大值及
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
的最小值．

18.如图，在四棱锥中
中，底面
为菱形，

，
，点
在线段

上，且
,为
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）（只文科生做）若平面
平面
，

求三棱锥
的体积；

（只理科生做）若平面
平面
，求二面角
的平面角的正切值.

19.已知数列
满足
，
，
，其中
．

（Ⅰ）求证：数列
为等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前项和
.

20．设函数
（
）．

（Ⅰ）若曲线
过点
，求曲线
在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值．

21．已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若不等式
在区间（0,+
上恒成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）（只理科生做）求证：

．

四、选考题（本大题10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）

22．选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
，
是⊙
的一条切线，

切点为，
都是⊙
的割线.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：
.

23. 选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆的圆心
，半径
．

（Ⅰ）求圆的极坐标方程；

（Ⅱ）若
，直线的参数方程为
（为参数），直线交圆

于
两点，求弦长
的取值范围．

24．选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：
；

（Ⅱ）若不等式
恒成立,求实数k的取值范围.

兰州一中2014-2015-1学期12月月考

数学试题答案

说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

C

A

C

D

A

D

C

B

B

D



第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）

_
_______．

15．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间

几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面

积是
．

16．若直角坐标平面内A,B两点满足条件：①点A,B都

在函数
的图象上；②点A,B关于原点对称，则

称
是函数
的一个“姊妹点对”（
与
可看作同一点对）．已知
，则
的“姊妹点对”有_2__个．

三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.）

17．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c．
，
，
．

（Ⅰ）求
的最大值及
的取值范围；

（Ⅱ）求函数
的最小值．

解：

12分

18.如图，在四棱锥中
中，底面
为菱形，

，
，点
在线段

上，且
,为
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）（只文科生做）若平面
平面
，

求三棱锥
的体积；

（只理科生做）若平面
平面
，求二面角
的平面角的正切值.

证明：（I）
，为
的中点，
，又底面
为菱形，

，
,
平面
，

,
平面
． ----------------------------6分

（II）（文科）平面
平面
,平面
平面
,

平面
，

,

,

又
平面
,
，

．------------------12分

（理科）作
交PB于E点，作
于F点，连结MF．

平面
，
平面
，EF是MF在平面
上的射影

，
是二面角
的平面角，

平面
平面
,平面
平面
,

平面
，

,

,

在
中可知
，在
中

． -------------------------12分

19.已知数列
满足
，
，
，其中
．

（Ⅰ）求证：数列
为等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前项和
.

解：（Ⅰ）

数列
为等比数列. ---------------------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

---------------------------6分

①

②

由①-②，得

． ---------------------------12分

20．设函数
（
）．

（Ⅰ）若曲线
过点
，求曲线
在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值．

解：（Ⅰ）曲线
过点
，则
，

，曲线
在点处的切线方程为
． ---------------4分

（Ⅱ）
的定义域为