高三年级考试

数 学 试 题

2015.1

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.

1.集合
等于

A.
B.

C.
D.

2.已知
，则“
”是“
”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.正项等比数列
的公比为2，若
，则
的值是

A.8 B.16

C.32 D.64

4.已知命题
：命题
.则下列判断正确的是

A.p是假命题 B.q是真命题

C.
是真命题 D.
是真
命题

5.已知
为不同的直线
，
为不同的平面，则下列说法正确的是

A.
B.

C.
D.

6.若变量
满足条件
，则
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

7.下列函数中，与函数

的奇偶性相同，且在
上单调性也相同的是

A
.
B.

C.
D.

8.设函数
的最小正周期为
，将
的图象向左平移
个单位得函数
的图象，则

A.
上单调递减 B.
上单调递减

C.
上单调递增 D.
上单调递增

9.设函数
的零点为
的零点为
，若
可以是

A.

B.

C.
D.

10.定义在R上的函数
满足：
的导函数，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集
为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.

11.已知向量
共线，则t= ▲ .

12.
设
为锐角，若
▲ .

13.若
，则
= ▲ .

14.已知直线
及直线
截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是 ▲ .

15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 ▲ .

三、解答题：（本大题共6个小题，满分75
分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）

16.（本小题满分12分）

在
中，角A、B、C所对的边分别为
，且

（I）求角C的大小；

（II）若
，
的面积
，求a、c的值.

17.（本小题满分12分）

如图所示，在直三棱柱
中，
为AB的中点，且

（I）
求证：
；

（II）求二面角
的平面的正弦值.

18.（
本小题满分
12分）

若数列
的前n项和为
，且满足：

.

（I）若数列
是等差数列，求
的通项公式.

（II）若
，求
.

19.（本小题满分12分）

某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资
（单位：万元）满足：
（
为常数），且曲线
与直线
在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.

（I）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；

（II）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公
司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

（参考数据：
）

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的两个焦点为
，离心率为
，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足
O为坐标原点.

（I）求椭圆的方程;

（II）求
的最值.

21.（本小题满分14分）

设函数
.

（I）当

时，求
的极值；

（II）设A、B是曲线
上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与
轴平行，直线AB的斜率为
，是否存在
，使得
若存在，请求出
的值，若不存在，请说明理由.