评分参考

一、选择题 BACD DCBB

二、填空题 ⒐
或
（每个区间2分，在此基础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。）

⒑
（若写成
或
给3分，其他不给分）

⒒
⒓
⒔，（若两空一对一错，给3分） ⒕
⒖

三、解答题

⒗⑴（方法一）
，
，
……3分

……6分（公式2分）

（方法二）
，
……2分

……6分（公式2分）

⑵（方法一）
，
……9分

∵
，∴
、
共线……11分

∵
、
有共同的始点，∴、
、三点共线……12分

（方法二）经过
、
两点的直线
的方程为

（即
）……9分

设
，由
得
……10分

解得
……11分

∵
（或
），∴(在
上)、
、三点共线……12分

⒘⑴
，
……2分

⑵估计该基地榕树树苗平均高度为

(
)……6分

（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）

⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此
的所有可能取值为0，1，2，3……7分

，
，

，

……11分

0

1

2

3
















的分布列为

……12分

的期望为
……13分（列式正确1分）

⒙⑴
……1分

⑵
时，

……4分（上式每个等号1分）

时，
，所以
，
……5分

⑶由⑵知，
时，
……7分

……9分

……11分

……12分，
……13分

∵
单调递增，∴
，
……14分

⒚⑴设四棱柱
的棱长为

∵
，
∽
，∴
……1分

由
，
，得
，
……2分

∵
，∴
，
……3分

是直四棱柱，
，又
，∴
，∵
，∴
平面
……4分

∵
平面
，∴平面
平面
……5分

⑵（方法一）过
作
于
，
于
，连接
……6分

由平面
平面
，平面
平面
，

平面
……7分

∴
，又
，
，∴
平面
，
，
是二面角
的平面角……9分

在
中，
，
，
，
，在
中，
，
，
，
（
、
求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分

，
……13分

（方法二）以为原点，
、
所在直线为轴、轴，平行于
的直线
为轴建立空间直角坐标系……6分，则

，
，
……7分

设平面
的一个法向量为
，则
……9分，即
，不妨取
……10分，由⑴知
，
……11分，平面
的一个法向量为

……12分，二面角
的平面角的余弦值
……13分

⒛⑴依题意
，
……2分，由
得
……3分

，椭圆的方程为
……4分

⑵（方法一）若存在满足条件的直线
，∵
，∴
，设直线
的方程为
……5分

由
……6分，得
……7分

，
（*）

……8分

设
，
，则
，
……9分

由已知
，若线段
的中点为，则
，
……10分

，
即
……11分

由
……12分，解得
……13分

时，
，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线

……14分

（方法二）假设存在
，
，线段
的中点为
，则
，
……5分

由
两式相减得：

……7分，代入、化简得：
①……8分

由已知
，则
，
……9分

由
得，
②……10分

由①②解得
，即
……11分

直线CD的方程为：
……12分

联立
得
……13分

∵
，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线

……14分

21．⑴
……1分

依题意，
，解得
……2分

⑵由⑴
，直线
的方程为
，即
……3分

作
，

则
……4分，
……5分（用其他适当的数替代
亦可）

因为
在
上是连续不断的曲线，
，
在
内有零点，
，从而切线
与曲线
在区间
至少有1个公共点……6分

⑶
，
是
的一个单调区间当且仅当
在
上恒大于等于零，或恒小于等于零，由
，作

，由
得
……7分











－

0

+





↘

最小值

↗



……9分

在
上的最小值为
，所以，当且仅当
时，
在
上单调递增……11分

下面比较
与
的大小

（方法一）由
，
，
以及
在
上单调递减得
……12分

……13分

，

∴
，当且仅当
时，
在
上单调递减，综上所述，的取值范围为
……14分

（方法二）由
，
，以及
的单调性知，
……12分

由
知，
单调递减……13分

由
得
，
，
，∴
，当且仅当
时，
在
上单调递减，综上所述，的取值范围为
……14分

（“单调递增……11分”以下，若直接写
，再给1分）