静安区2014学年第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷

（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 计算：
.

2. 已知集合
，
，则
.

3. 已知等差数列
的首项为3，公差为4，则该数列的前项和
.

4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.

5. 不等式
的解集是 .

6. 设
，则
.

7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则该圆锥的侧面积是 .

8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线
（
）上，则
.

9. 已知两个向量
，
的夹角为
，
，
为单位向量，
，若
，则
.

10. 已知两条直线的方程分别为
：
和
：
，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.

11. 若，
是一二次方程
的两根，则
.

12. 直线
经过点
且点
到直线
的距离等于1，则直线
的方程是 .

13. 已知实数、满足
，则
的取值范围是 .

14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为
，则
的取值范围是 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. 在下列幂函数中，是偶函数且在
上是增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

16. 已知直线
：
与直线
：
，记
.
是两条直线
与直线
平行的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

17. 已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，

则表示复数
的点是（ ）

A.
B.
C. D.

18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）

A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 8个

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在锐角
中，、
、分别为内角、、
所对的边长，且满足
.

（1）求
的大小；

（2）若
，
的面积
，求
的值.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.

上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.

（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）

（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式
.

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

如图，正方体
的棱长为2，点为面
的对角线
的中点.
平面
交
与
，
于
.

（1）求异面直线
与
所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）

（2）求三棱锥
的体积.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.

已知函数
（其中
）.

（1）判断函数
的奇偶性，并说明理由；

（2）求函数
的反函数
；

（3）若两个函数
与
在闭区间
上恒满足
，则称函数
与
在闭区间
上是分离的.

试判断函数
与
在闭区间
上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.

23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.

在数列
中，已知
，前项和为
，且
.（其中
）

（1）求
；

（2）求数列
的通项公式；

（3）设
，问是否存在正整数、（其中
），使得
、
、
成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组
；否则，说明理由.

静安区2014学年第一学期期末教学质量检测

高三年级数学（文科）试卷答案

（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 计算：
.

解：
.

2. 已知集合
，
，则
.

解：
.

3. 已知等差数列
的首项为3，公差为4，则该数列的前项和
.

解：
.

4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.

解：45.

5. 不等式
的解集是 .

解：
.

6. 设
，则
.

解：256.

7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则该圆锥的侧面积是 .

解：
.

8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线
（
）上，则
.

解：
.

9. 已知两个向量
，
的夹角为
，
，
为单位向量，
，若
，则
.

解：-2.

10. 已知两条直线的方程分别为
：
和
：
，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.

解：
（或
或
）.

11. 若，
是一二次方程
的两根，则
.

解：-3.

12. 直线
经过点
且点
到直线
的距离等于1，则直线
的方程是 .

解：
或
.

13. 已知实数、满足
，则
的取值范围是 .

解：
.

14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为
，则
的取值范围是 .

解：
.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. 在下列幂函数中，是偶函数且在
上是增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

解：D.

16. 已知直线
：
与直线
：
，记
.
是两条直线
与直线
平行的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

解：B.

17. 已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，

则表示复数
的点是（ ）

A.
B.
C. D.

解：D.

18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）

A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 8个

解：C.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在锐角
中，、
、分别为内角、、
所对的边长，且满足
.

（1）求
的大小；

（2）若
，
的面积
，求
的值.

解：（1）由正弦定理：
，得
，∴
，（4分）

又由为锐角，得
.（6分）

（2）
，又∵
，∴
，（8分）

根据余弦定理：
，（12分）

∴
，从而
.（14分）

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.

上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.

（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）

（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式
.

解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）

（2）
.

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

如图，正方体
的棱长为2，点为面
的对角线
的中点.
平面
交
与
，
于
.

（1）求异面直线
与
所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）

（2）求三棱锥
的体积.

解：（1）∵ 点为面
的对角线
的中点，且
平面
，

∴
为
的中位线，得
，

又∵
，∴
，（2分）

∵ 在底面
中，
，
，∴
，

又∵
，
为异面直线
与
所成角，（6分）

在
中，
为直角，
，∴