2014年奉贤区调研测试高三期末数学试卷

时间120分钟 ，分值150 分 2015、1、8

一、填空题（每空正确3分，满分36分）

1．已知全集
，集合
，则
.

2．某工厂生产、、
三种不同型号的产品，产品数量之比依次为
，现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中种型号产品有
件，那么此样本的容量
.

3．设
，
，若是
的充分条件，则实数的取值范围是 .

4．若双曲线
的一个焦点是
，则实数
.

5．已知圆
与直线
相切，则圆
的半径
.

6．若
是实系数一元二次方程
的一个根，则
.

7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字、、
、的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为
”的概率是 .

8．函数
的反函数为 .

9．在
中，已知
，且
的面积
，则

的值为 .

10．已知
为单位矩阵，且
，则
.

11．如图，在矩形
中，为边
的中点，
，
，分别以、为圆心，为半径作圆弧
、
（在线段
上）.由两圆弧
、
及边
所围成的平面图形绕直线
旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .

12．定义函数
，则函数
在区间
内的所有零点的和为 .

二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）

13．正方体中两条面对角线的位置关系是 （ ）

A．平行 B．异面

C．相交 D．平行、相交、异面都有可能

14．下列命题中正确的是 （ ）

A．任意两复数均不能比较大小 B．复数是实数的充要条件是

C．复数是纯虚数的充要条件是
D．
的共轭复数是

15．与函数
有相同图像的一个函数是 （ ）

A．
B．

C．
D．

16．下列函数是在
上为减函数的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

17．在空间中，设、是不同的直线，、
是不同的平面，且
，
，则下列命题正确的是 （ ）

A．若
，则
B．若、异面，则、
平行

C．若、相交，则、
相交 D．若
，则

18．设
是函数
图像上任意一点，则下列各点中一定在该图像上的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

19．设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，上顶点为，若
，则该椭圆的方程为 （ ）

A．
B．
C．
D．

20．在二项式
的展开式中，系数最大项的系数是 （ ）

A．
B．
C．
D．

21．已知数列
的首项
，
，则下列结论正确的是 （ ）

A．数列是
等比数列 B．数列
是等比数列

C．数列是
等差数列 D．数列
是等差数列

22．在
中，
，则角的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

23．对于使
成立的所有常数
中，我们把
的最小值叫做
的上确界，若、
且
，则
的上确界为 （ ）

A．
B．
C．
D．

24．定义两个实数间的一种新运算“”：
，、
。对于任意实数、
、，给出如下结论：①
；②
；③
．其中正确结论的个数是 （ ）

A．
个 B．个 C．个 D．
个

三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）(写出必要的解题步骤)

25．判断函数
的奇偶性．

26．如图，四棱锥
的侧棱都相等，底面
是正方形，
为对角线
、
的交点，
，求直线
与面
所成的角的大小．

27．已知函数
，求
的最小正周期，并求
在区间
上的最大值和最小值．

28．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车
辆，混合动力型公交车
辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加
，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设
、
分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设
、
分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。

（1）求
、
，并求年里投入的所有新公交车的总数
；

（2）该市计划用
年的时间完成全部更换，求的最小值．

29．曲线
是平面内到直线
和直线
的距离之积等于常数
的点的轨迹，设曲线
的轨迹方程
．

（1）求曲线
的方程
；

（2）定义：若存在圆
使得曲线
上的每一点都落在圆
外或圆
上，则称圆
为曲线
的收敛圆．判断曲线
是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．

30．对于正项数列
，若
对一切
恒成立，则
对
也恒成立是真命题．

（1）若
，
，且
，求证：数列
前项和
；

（2）若
，
，求证：
．

31．设
是定义在上的函数，若对任何实数
以及中的任意两数
、
，恒有
，则称
为定义在上的
函数．

（1）证明函数
是定义域上的
函数；

（2）判断函数
是否为定义域上的
函数，请说明理由；

（3）若
是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明
不是上的
函数．

2015年1月奉贤区高三数学调研测试参考解答

一、填空题（每题3分）

1．
2．
3．
4．

5． 6．
7．
8．

9．
10． 11．
12．

二、单项选择题（每题3分）

13．D 14．B 15．D 16．A 17．C 18．B

19．A 20．C 21．B 22．C 23．A 24．D

三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）

25．
， 1分

所以函数
的定义域是
， 2分

定义域关于原点对称， 3分

4分

， 5分

而
，
，
， 6分

所以
是奇函数不是偶函数。 7分

26．
为正方形，
为
、
的中点，

又
， 2分

因为
与
交于一点
，

平面
， 4分

为直线
与平面
所成的角， 5分

在

， 6分

所以直线
与平面
所成的角为
． 7分

27．解：

2分

， 4分

5分

因为
，所以
， 6分

当
时，即
时，
的最大值为
， 7分

当
时，即
时，
的最小值为
． 8分

28．（1）设
、
分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，

依题意知，数列
是首项为
、公比为
的等比数列； 1分

数列
是首项为