秘密 ★ 考试结束前

四川省2015年“联测促改”活动第一轮测试

数学（理工类）试题参考答案及评分标准

评分说明：

1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16． (Ⅰ) 由题意，向上的点数为
，出现的频率分别为：

．…………………1分

设
表示事件“向上的点数是”(
)，则

．………………2分

设表示事件“向上的点数之和超过3”，

则
表示事件“向上的点数之和小于或等于3”．

掷一个骰子的结果有6种，因此，连续掷两次骰子的结果共有36种．……………4分

在这36种结果中，向上的点数之和小于等于3的结果有3种，即
．

因为
，……………………………6分

所以
．……………………………………………7分

(Ⅱ) 设抛掷这枚质地不均匀的骰子出现向上的点数为
，则由(Ⅰ)得
的概率分布列为

1

2

3

4

5

6





0.09

0.19

0.19

0.22

0.19

0.12







 …………………………………………1分

所以，向上的点数
的均值是

．…………2分

设抛掷一枚质地均匀的骰子出现向上的点数为
，则
的概率分布列为

1

2

3

4

5

6



















 …………………………………3分

所以，向上的点数
的均值是

．……………………………………………… 4分

因为
，所以“
”的可能性更大．…………………………………5分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
，

所以
．……………………………………………………1分

由已知，
，

则
，从而
．

因此
．……………………………………………………………2分

由
可得

.

由于
≤
，因此
．

所以
，…………………………………………………………………3分

该式两边平方，解得
．………………………………………………………4分

又
，所以
≤
，

从而
．……………………………………………………7分

故
．……………………………………………………8分

(Ⅱ) 在RtSDC中, DC=DS=2，所以
．

由(Ⅰ)可知，在Rt△BCM中，BC = AD =
，所以BM=2．

在Rt△ADM中，AD=
，
，所以AM=2．

因为AB=DC=2，所以△ABM为等边三角形．………………2分

取AM中点E，连接BE，则BEAM．

由(Ⅰ)知，M是线段SC的中点，所以SCDM．

因为AD平面SDC，所以ADSC，

因此SC平面ADM，从而SCAM．

过E作EF//SM交SA于F，所以EFAM．

连接BF，则BEF就是二面角S-AM-B的平面角．…………………………………4分

因为E是AM的中点，EF//SM，所以F是SA的中点．

因为SD底面ABCD，所以SDAB．

又在矩形ABCD中，ABAD，

所以AB平面SAD，所以ABSA．…………………………………………………5分

在Rt△SAD中，因为AD=
，SD=2，所以SA=
，所以AF=
．

在Rt△SAB中，因为AB=2，所以BF=
．

又因为
，BE=
，

在BEF中，运用余弦定理得，
，

所以二面角S-AM-B的余弦值是
.…………………………………………………6分

解法二：

(Ⅰ) 因为ABCD为矩形，所以ADCD.

因为SD底面ABCD，所以SDAD，SDCD，

如图，以D为坐标原点，
分别为x轴,y轴,z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz．……………………2分

由已知有A(
,0,0),B(
,2,0), C(0,2,0)，S(0,0,2)，

则
．……………………2分

因为点M是线段SC的中点，所以M (0,1,1)，

因此
．

因为
所以
,
．………………………………………4分

因为SC,BC是平面SCB内的两条相交直线，所以DM平面SCB．………………6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
，
．

设平面SAM的一个法向量为
， ……………………………1分

所以
即

取
，则
． …………………………………………3分

设平面ABM的一个法向量为
，

所以
即

取
，则
．…………………………………………………………5分

所以
．

因此二面角S-AM-B的余弦值是
．………………………………………………6分

19．(Ⅰ) 设等差数列
的公差为d，

则前n项和为
，

由题知
……………………………………………………………2分

解得
，

所以
. …………………………………………………………………………3分

因为
，所以
．

两式相减得
. …………………………………………………4分

又由已知式有
且
，求得
，

即当n=1时，
也成立，

所以
，于是
．……………………………………6分

20．（Ⅰ）由已知，
，

则
，且有
．……………………………………………………2分

又
，
，

根据题意，曲线
在
处切线方程为
……3分

又
，
，

解得：
，
．

即 a，b的值分别为
，
．…………………………………………………5分

（Ⅱ）欲使
是增函数，则
在
时恒成立，即
≥0在
时恒成立．

设
(≥0)，则
． ……………………………………2分

① 若
，有当t >0时，
，则
(
)是增函数，

所以当t=0时，函数
取得最小值
．

符合条件的a , b满足：
，即
．……………………………………4分

② 若
，

当
时，有
，则
在
是减函数，

当
时，有
，则
在
是增函数，………………………6分

因此，当
时，函数
取得极小值
，

故符合条件的a,b满足：
≥0．

化简，得
．…………………………………………………………7分

综上所述，当
或
时，
在定义域内是增函数．……8分

21．（Ⅰ）由已知，曲线E是以M，N为焦点，长轴长为2a=4的椭圆．

所以该椭圆的焦距为
，短半轴长为
．

故曲线E的方程为
．………………………………………………………2分

（Ⅱ）设点P的坐标为
，则

，且
．

所以

，

因此
． ①………………………………………………2分

由已知，
，

，
成等差数列，有

2
， ………………………………………………………3分

所以，

． ②…………………………………………………4分

由①②可知，的取值范围是
．…………………………………5分

（Ⅲ）设A，B，C，D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD.

当
时，由题知
，故
．…………………………………………1分

联立
与
，

可得
. ……………………………………………2分

因为直线l与⊙O1交于A、B两点，故

，

且
.

联立
与
，可得
. ……………4分

因为直线l与曲线E交于C，D两点，故

， ③……………………………………5分

且
.

由
，可知xC - xA= xB - xD，即xA+xB=xC+xD，则有

，

变形得
.………………………………………………………………………6分

代入③，可得
，化简得
，显然不成立.

所以，不存在直线l，使得
成立. …………………………………………7分