2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试

高三数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 龚才权 丁连根

审题人：丁凤桂 石志群

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

（参考公式：柱体体积公式为
）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1.若复数
（
是虚数单位）是纯虚数，则实数
= ▲ ．

2.已知集合
，
，若
，则
▲ ．

3.某高中共有
人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样

的方法从中抽取
人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．

4.已知双曲线
的渐近线方程为
，则
▲ ．

5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．

6.若圆柱的侧面积和体积的值都是
，则该圆柱的高为 ▲ ．

7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此

点到圆心的距离大于
，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于
，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ▲ ．

8.在等比数列
中，已知
，则
▲ ．

9.已知函数
的定义域为
，值域为
，则实数
的取值集合为

▲ ．

10.已知实数
满足
，则
的取值范围是 ▲ ．

11.设函数
和
的图象在
轴左、右两侧靠近

轴的交点分别为
、
，已知
为原点，则
▲ ．

12.若斜率互为相反数且相交于点
的两条直线被圆
：
所截得的弦长之比为
，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ．

13. 若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是

▲ ．

14. 在
中，
为边
上一点，
，若
的外心恰在线段
上，则
▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15.（本题满分14分）

已知向量
，
，
．

（1）若
∥
，求角
的大小；

（2）若
，求
的值．

16.（本题满分14分）

如图，矩形
所在平面与直角三角形
所在平面互相垂直，
，点
分别是
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：平面
平面
．

17.（本题满分14分）

如图，某市有一条东西走向的公路
，现欲经过公路
上的
处铺设一条南北走向的公路
．在施工过程中发现在
处的正北
百米的
处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以
为圆心，
百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路
、
，欲再新建一条公路
，点
、
分别在公路
、
上，且要求
与圆
相切．

（1）当
距
处
百米时，求
的长；

（2）当公路
长最短时，求
的长．

18.（本题满分16分）

如图，在平面直角坐标系
中，椭圆

的左顶点为
，与
轴平行的直线与椭圆
交于
、
两点，过
、
两点且分别与直线
、
垂直的直线相交于点
．已知椭圆
的离心率为
，右焦点到右准线的距离为
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）证明点
在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；

（3）求
面积的最大值．

19.（（本题满分16分）

已知
，
，
都是各项不为零的数列，且满足
，
，其中
是数列
的前
项和，
是公差为
的等差数列．

（1）若数列
是常数列，
，
，求数列
的通项公式；

（2）若
（
是不为零的常数），求证：数列
是等差数列；

（3）若
（
为常数，
），

，求证：对任意的
，数列
单调递减．

20.（本题满分16分）

己知
，其中常数
．

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
有两个零点
，求证：
；

（3）求证：
．

2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试

高三数学试题(附加题)

21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．

A．（本小题满分10分，几何证明选讲）

如图，
是圆
的切线，切点为
，
是过圆心的割线且交圆
于
点，过
作
的切线交
于点
．

求证：（1）
；（2）
．

B．（本小题满分10分，矩阵与变换）

已知矩阵
，矩阵
，直线
经矩阵
所对应的变换得到直线
，直线
又经矩阵
所对应的变换得到直线
．

（1）求
的值；（2）求直线
的方程．

C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为
．

（1）把直线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）已知
为椭圆
上一点，求
到直线
的距离的最小值．

D．（本小题满分10分，不等式选讲）

已知不等式
对于满足条件
的任意实数
恒成立,求实数
的取值范围．

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.(本小题满分10分)

某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了
名幸运之星．这
名幸运之星可获得
、
两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于
的获得
奖品，抛掷点数不小于
的获得
奖品．

（1）求这
名幸运之星中获得
奖品的人数大于获得
奖品的人数的概率；

（2）设
、
分别为获得
、
两种奖品的人数，并记
，求随机变量
的分布列及数学期望．

23.(本小题满分10分)

已知
（
），
是关于
的
次多项式；

（1）若
恒成立，求
和
的值；并写出一个满足条件的
的表达式，无需证明．

（2）求证：对于任意给定的正整数
，都存在与
无关的常数
，
，
，…，
，

使得
．

2014～2015学年度泰州市第二次模拟考试

高三数学参考答案

一、填空题

1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；

6．
； 7．
； 8．
； 9．
； 10．
；

11．
； 12．
或
； 13．
； 14．
.

二、解答题

15. 解：(1) 因为
，所以
，即
，

所以
， 又
，所以
． ……………７分

(2)因为
，所以
，化简得
，

又
，
，则
，
，

所以
，则
， ……………10分

又
，
，

所以

．

……………14分

16. 证：（1）取
中点
，连接
，

又
是
中点，则
，

又
是矩形
边
中点，

所以
，则四边形
是平行四边形，

所以
，又
面
，
面
，所以
∥平面
．…７分

（2）因为平面

平面
，
，所以
平面
，

因为
平面
，所以
，

又
，
，所以
平面
，

而