第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分.）

1. 若
，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知复数
，则( )

A.
B.的实部为1 C.的虚部为-1 D.的共轭复数为1+i

3．设条件p：
；条件q：
，那么p是q的 （ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4、已知
中，
，且
的面积为
，则
( )

A．
B．
C．
或
D．
或

5．如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )

A．
B．
C．
D．

6．执行如图的程序框图，输出的T=( )

30 B．25 C．20 D．12

7．在等差数列
中，
，且
，则
的最大值是( )

A.
B.
C.
D.

8．双曲线
的离心率为
，双曲线C的渐近线交于
两点，
（O为坐标原点）的面积为，则抛物线的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．定义域为的可导函数
的导函数为
，满足
，且
则不等式
的解集为（ )

A.
B.
C.
D.

10． 如图，
为△
的外心，

为钝角，
是边
的中点，则
的值为 ( ).

A．4 B．5 C．6 D．7

已知双曲线
，过其右焦点作圆
的两条切线，切点记作，,

双曲线的右顶点为,
，其双曲线的离心率为( )

A.
B.
C.
D.

12．已知函数
是定义在上的增函数，函数
的图像关于点
对称，

若任意的、
，不等式
恒成立，则当
时，
的

取值范围是( )

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知向量

，向量
，则
在
方向上的投影为__ _。

14．第十二届全运会于2013年8月31日在沈阳举行，运动会期间从自A大学的2名志愿者和自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是_______．

15.已知向量
，若函数
在区间
上是增函数，则实数的取值范围是

16.下列五个命题：①若一个圆锥的底面半径缩小到原的
，其体积缩小到原的
；

②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；

③直线
与圆
相切；④“
”是“
”的充分不必要条件.

　其中真命题的序号是：_ ___

三、解答题

17．（本题满分12分）

在
设内角A,B,C的对边分别为
，向量
,向量
，若

（1）求内角A的大小；（2）若
且
求
的面积

18.（本小题满分12分）

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：

组别

A

B

C

D

E



人数

50

100

150

150

50



 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.

组别

A

B

C

D

E



人数

50

100

150

150

50



抽取人数



6









 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．

20．（本小题满分12分）

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2
.

（I）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为
，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

21．（本小题满分12分）

已知函数f (x)=ax－ex（a∈R），g（x）=
.

（I）求函数f (x)的单调区间；

（Ⅱ）x0∈（0，+∞），使不等式f (x) g（x）－ex成立，求a的取值范围．

请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

作答时请在答题卡涂上题号.

22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合．直线
的参数方程为：
（为参数），曲线
的极坐标方程为：
．

（1）写出曲线
的直角坐标方程，并指明
是什么曲线；

（2）设直线
与曲线
相交于
两点，求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a.

(1)当a＝1时，解这个不等式；

(2)当a为何值时，这个不等式的解集为R.

甘肃省秦安二中2015届高三级第五次检测考试数学（文）试题答案

三、解答题

17．（本题满分12分）

答案：（1）
,(2)

4种，故所求概率P＝＝.

19．（本题满分12分）

解　(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，

所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，

又PQ?平面ACD，

从而PQ∥平面ACD.

(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC，

EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.

故CQ⊥平面ABE.

由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，

所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.

因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，

在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，

sin∠DAP＝，

因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.

20. 解：

（Ⅰ）由题意可设椭圆
的方程为
，
．

由题意知
解得
. ………2分

故椭圆
的方程为
. ………4分

（Ⅱ）以
为直径的圆与直线
相切．

证明如下：由题意可知，
，
，直线
的方程为
.

则点坐标为
，
中点的坐标为
，圆的半径
………6分

由
得
．

当在区间
内变化时，
、
变化情况如下表











+



-















由上表可知，当
时，函数
有最大值，且最大值为
.

所以
. ………12分

请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

作答时请在答题卡涂上题号.

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

解：(1)当a＝1时，原不等式变为|x＋3|＋|x－7|＞10，其解集为{x|x＜－3或x＞7}． (4分)

(2)∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－(x－7)|＝10对任意x∈R都成立，∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥lg10＝1对任何x∈R都成立，即lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a，当且仅当a＜1时，对任何x∈R都成立．(12分)